Statistik Untuk Psikologi

Sudah Terbit!!!

2010-10-05T19:40:00.001+07:00

Akhirnya sudah terbit buku Statistik untuk Psikologi, dari Blog menjadi Buku.
Bisa didapatkan di beberapa toko buku setempat.

Akan Terbit !!!

2010-06-29T16:20:00.000+07:00

Blog ini akan diterbitkan dalam bentuk buku dalam waktu dekat. Semoga bisa membantu teman-teman yang agak kesulitan dalam membaca artikel-artikel dalam blog ini di depan layar komputer.

Tunggu tanggal mainnya...

STOP PRESS: PLAGIARISM!!!

2009-08-23T09:55:00.002+07:00

Beberapa minggu ini tema plagiasi ini mencuat dalam kehidupan saya. Pertama karena blog ini sempat diplagiasi oleh blog lain, dan kedua karena saya mengajar dan biasanya saya menekankan betapa saya tidak menyukai plagiarism. Saya akan memberikan nilai E saat itu juga jika ketahuan ada mahasiswa saya yang melakukan plagiarism. Di beberapa universitas tempat saya kuliah dulu, plagiarism bisa diganjar hukuman dikeluarkan dari universitas. Jadi saya pikir memberikan nilai E termasuk 'sangat ringan'. Semoga saja itu menimbulkan efek jera.

Nah permasalahan dengan plagiarism kadang terjadi karena ketidaktahuan si pelaku bahwa apa yang dilakukannya adalah plagiarism. Walaupun dari definisi plagiarism, intensi tidak diperhitungkan dalam menentukan apakah suatu perilaku itu plagiasi atau bukan. Jadi seseorang akan dituduh plagiasi karena perilakunya bukan karena intensinya. Oleh karena itu ketidaktahuan tidak dapat dijadikan alasan untuk menghindari tuduhan plagiasi. Satu-satunya cara menghindari adalah dengan tidak melakukan perilaku tersebut.

Untuk keperluan itulah maka artikel kali ini memuat tentang plagiarism. Artikel ini disusun berdasarkan beberapa artikel terkait mengenai plagiarism yang saya dapatkan baik di internet maupun di buku-buku. Sumber-sumber acuan akan saya berikan di akhir artikel ini sehingga pembaca bisa mengaksesnya sendiri jika membutuhkan.

Analisis Regresi Ganda

2009-07-26T23:33:00.022+07:00

Bagaimana jika kita hendak melakukan analisis regresi dengan lebih dari satu prediktor atau variabel independen? Kita tetap dapat menggunakan analisis regresi, hanya saja saat ini melibatkan lebih dari satu prediktor dalam analisisnya. Analisis regresi seperti ini sering disebut dengan analisis regresi ganda (Multiple Regression Analysis). Sebagai catatan: baik analisis regresi sederhana maupun analisis regresi ganda, keduanya berada dalam satu bendera yang sama yaitu Analisis Regresi. Jadi keduanya bukan merupakan teknik analisis yang berbeda, tetapi analisis yang sama hanya saja diterapkan pada situasi yang berbeda.

Pada dasarnya, pemikiran mengenai analisis regresi ganda ini merupakan perluasan dari prinsip-prinsip analisis regresi sederhana yang dibahas dalam postingan sebelumnya. Karena melibatkan lebih dari satu prediktor, tentu saja perhitungan dalam analisis regresi ganda akan lebih rumit.

Dalam beberapa hal saya masih menganggap perlu untuk menampilkan rumus-rumus untuk kepentingan memperoleh pemahaman bukan untuk perhitungan semata. Jadi kita masih akan bertemu dengan beberapa rumus yang mungkin agak rumit dalam postingan ini. Harap sabar ya…

Regresi Ganda dan Regresi dengan Satu Prediktor
Sebenarnya pemikiran mengenai analisis regresi ganda itu seperti melakukan beberapa kali analisis regresi, satu kali untuk tiap prediktor. Analisis regresi ganda menjadi lebih rumit karena seringkali kedua prediktor memiliki hubungan yang mempengaruhi hubungan tiap prediktor dengan kriterion. Hal ini yang membuat hasil analisis regresi dengan menggunakan lebih dari satu prediktor akan berbeda dengan analisis regresi untuk tiap prediktornya. Perbedaan muncul misalnya dalam hasil estimasi b dan R2 nya.

Baiklah saya akan berikan contoh untuk ilustrasi poin ini. Contoh yang saya berikan adalah ketika kedua prediktor memiliki korelasi yang sangat kecil dan hampir nol (sebenarnya saya ingin membuatnya benar-benar nol tapi agak sulit sepertinya). Anggaplah ada dua prediktor yaitu a dan b dan satu kriterion c. Yang pertama saya melakukan analisis regresi dengan melibatkan satu prediktor saja. Hasil analisis dengan menggunakan SPSS 16 dapat dilihat sebagai berikut:

Gambar 1. R kuadrat dengan melibatkan a saja

Gambar 2. R kuadrat dengan melibatkan b saja

Gambar 3. R kuadrat dengan melibatkan a dan b

Dari ketiga tabel di atas dapat dilihat bahwa nilai R kuadrat yang dihasilkan dari analisis regresi yang melibatkan dua prediktor kurang lebih adalah jumlah dari R kuadrat dari analisis regresi untuk tiap prediktornya: 0.549 =0.478+0.070.

Gambar 4. nilai slope dengan melibatkan a saja

Gambar 5. nilai slope dengan melibatkan b saja

Gambar 6. nilai slope untuk tiap variabel dengan melibatkan a dan b

Dari gambar 4 sampai 6, dapat kita lihat bahwa besarnya slope untuk tiap variabel kurang lebih sama antara slope yang didapatkan dari hanya melibatkan satu prediktor dengan slope yang didapatkan dari dua prediktor.

Hal ini terjadi karena bagian dari variasi d yang dijelaskan oleh a adalah murni bagian yang terpisah dari bagian variasi d yang dijelaskan oleh b, karena kedua prediktor tersebut tidak berkorelasi. Begini gambarnya:

Gambar 7. Ilustrasi regresi dengan dua prediktor yang tidak saling berkorelasi.

Tentu saja kita akan sangat jarang berhadapan dengan situasi ini. Situasi lain yang lebih sering dijumpai dalam penelitian adalah ketika kedua prediktor saling berkorelasi. Korelasi dua prediktor ini mengakibatkan bagian dari variasi kriterion yang dijelaskan oleh prediktor yang satu bukan merupakan bagian yang murni terpisah dari bagian yang dijelaskan prediktor lain atau dengan kata lain ada overlap antara bagian yang dijelaskan oleh a dan b. Oleh karena itu bagian ini perlu diidentifikasi agar tidak terhitung ulang (lihat gambar 8.).

Gambar 8. Ilustrasi analisis regresi yang melibatkan dua prediktor yang berkorelasi

Estimasi Parameter dalam Regresi Ganda
Seperti yang dijelaskan sebelumnya, estimasi parameter dalam regresi ketika melibatkan lebih dari dua prediktor, perlu memperhitungkan korelasi antar prediktor. Ini tercermin dalam rumus-rumus untuk mencari tiap parameter.
Dalam artikel ini, penjelasan analisis regresi ganda melibatkan hanya dua prediktor saja demi kemudahan pemaparan. Oleh karena itu rumus dari garis prediksi yang akan dicari adalah
Slope
Rumus untuk mencari b1 maupun b2 mirip. Dapat dilihat sebagai berikut:
Dapat dilihat dalam kedua rumus di atas, bahwa nilai b selalu didapatkan dari korelasi antara variabel yang dicari b-nya dengan variabel dependen (ry1), yang kemudian dikoreksi dengan korelasi antara variabel independen lain dengan variabel dependen (ry2) dan korelasi antar variabel independen (r12).

Nah ketika korelasi antar variabel independen tidak sama dengan nol, maka dapat dikatakan korelasi ini ‘dibersihkan’ (partialed out) dari perhitungan nilai b atau dengan kata lain dikendalikan atau dikontrol. Oleh karena itu nilai b dalam analisis regresi ganda diinterpretasi sebagai “kenaikan nilai prediksi Y untuk setiap poin kenaikan nilai X dengan mengendalikan nilai variabel independen lain”. Atau “kenaikan nilai prediksi Y untuk setiap poin kenaikan nilai X jika nilai variabel independen lain tetap”. Dari sinilah kemudian ide mengenai korelasi parsial dan semi parsial muncul, yaitu korelasi antara dua variabel dengan mengendalikan (partial out) variabel lain.

Ketika korelasi antar variabel independen sama dengan nol (r12=0), maka akan terjadi :
Jika kita lihat rumus b1 ini sama dengan rumus b1 pada analisis regresi dengan menggunakan satu prediktor saja, ini diakibatkan tidak ada korelasi yang ‘dibersihkan’ dari perhitungan nilai b, karena tidak ada korelasi antar variabel independen.

R kuadrat.
Perhitungan R kuadrat dalam regresi ganda dapat dilakukan dengan banyak cara. Cara pertama dilakukan dengan menjumlahkan R kuadrat untuk tiap korelasi antara variabel independen dengan variabel dependen, lalu dikoreksi.
Rumus di atas juga menunjukkan bahwa R kuadrat dari garis regresi ganda merupakan jumlah r kuadrat tiap variabel yang dikoreksi atau ‘dibersihkan’ dari korelasi antar variabel independen. Jika r12 = 0 makaSelain cara pertama itu, cara lain yang terhitung mudah adalah dengan mencari koefisien korelasi antara prediksi y dengan y dari data penelitian. Koefisien korelasi yang didapatkan kemudian dikuadratkan. Cara kedua ini dapat dinyatakan dalam bentuk seperti berikut:Regresi Ganda dalam SPSS
Saya tidak akan memberikan contoh pengerjaan rumus-rumus di atas secara manual…
“Yaaah…..”, begitu mungkin terdengar dari kejauhan sana.
Ya … ya … saya bisa memahami kekecewaan anda semua. Tapi saya melakukannya demi kebaikan kita semua (hmm… mulai tercium bau keangkuhan dan hawa kesombongan…). Selain karena membutuhkan kesabaran dan ketelitian ekstra, saya juga menghindari tampilan yang mengerikan dari perhitungan statistik dengan harapan mengurangi pengalaman traumatik berurusan dengan statistik …(hehe… lebai banget…). Saya juga merasa jauh lebih penting memfokuskan pada pemahaman konsep daripada penguasaan hitung-hitungannya, jadi dalam kesempatan ini mari kita segera beralih pada contoh regresi ganda dalam SPSS…. (Mari…. ).
Contoh: Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui korelasi dari nilai IPK mahasiswa dengan dua variabel lain yaitu nilai Tes Seleksi Masuk I dan Tes Seleksi Masuk II. Penelitian ini juga ditujukan untuk menemukan garis regresi untuk melakukan prediksi nilai IPK seorang mahasiswa berdasarkan informasi dari nilai Tes Seleksi Masuk I dan II.
Baiklah, langkah pertama adalah dengan membuka data dalam SPSS tentu saja. Yang diikuti dengan klik menu Analyze-Regression-Linear sehingga muncul dialog box seperti ini (gambar 9.)

Gambar 9.

Variabel Indeks Prestasi Kumulatif dimasukkan ke dalam kotak Dependent sementara Tes Seleksi I dan Tes Seleksi II dimasukkan ke dalam kotak Independent(s). Kemudian klik OK, sehingga ditampilkan hasil seperti berikut (gambar 10, 11,12):

Gambar 10.

Pada Gambar 10. ditampilkan tabel yang memberikan informasi mengenai besarnya R dan R kuadrat. R merupakan korelasi majemuk (multiple correlation) dari kedua variabel independen dengan variabel dependen. R kuadrat (R square) memberikan gambaran seberapa baik garis regresi dapat memberikan prediksi variabel dependen. Dalam hal ini 14% dari variasi variabel dependen yang dapat diprediksikan oleh garis regresi dengan menggunakan kedua tes seleksi sebagai prediktornya.

Gambar 11.

Tabel dalam gambar 11, memberikan informasi mengenai signifikasi nilai R atau dapat juga dianggap sebagai uji hipotesis terkait dengan parameter-parameter regresi. Dalam tabel ditemukan nilai p (sig.) lebih kecil dari 0.05. Ini berarti nilai R secara signifikan berbeda dari 0 di populasi. Atau dapat juga diinterpretasi bahwa menggunakan garis regresi memberikan informasi lebih baik dibandingkan hanya dengan menggunakan mean dari variabel dependen. Interpretasi lain terkait dengan parameter, yaitu paling tidak ada satu nilai b yang signifikan. Jika kita membagi JK (Sum of Squares) dari Regression dengan JK dari Total, akan ditemukan nilai yang sama dengan R kuadrat.

Gambar 12.

Tabel berikutnya dalam gambar 12. memberikan informasi mengenai besarnya slope dan intercept serta signifikasi dari tiap koefisien tersebut. Slope untuk Tes Seleksi I adalah 0.049 sementara Tes Seleksi II adalah 0.090. Intercept dari persamaan garis regresi ini adalah 1.932. Semua parameter tersebut signifikan dengan taraf 5%. Ini berarti garis regresi untuk memprediksi IP Kumulatif mahasiswa adalah sebagai berikut:

Arti dari slope untuk Tes Seleksi masuk : dengan mengendalikan nilai Tes Seleksi II, tiap kenaikan satu poin dalam Tes Seleksi I akan diikuti oleh prediksi IPK sebanyak 0.049 poin. Atau : kenaikan 1 poin nilai Tes seleksi I akan diikuti oleh kenaikan prediksi IPK, jika nilai Tes Seleksi II tetap.
Baiklah demikian kiranya pembahasan mengenai analisis regresi ganda. Tentu saja banyak bunga-bunga di sekitar analisis regresi ganda ini yang belum bisa dibahas dalam postingan ini.

Analisis Regresi

2009-05-18T06:24:00.024+07:00

Hmm…. Akhirnya kita sampai juga di sini. Analisis Regresi. Analisis ini cukup populer dalam penelitian-penelitian baik di psikologi, ekonomi atau biologi. Varian nya juga banyak. Dari analisis regresi yang biasa sampai antar waktu sampai regresi kuantil. Dalam kesempatan ini, kita akan ngobrolin tentang analisis regresi yang biasa dilakukan dalam penelitian psikologi. Beberapa menyebutnya Analisis Regresi Ordinary Least Square atau Conditional Mean Regression, atau ya yang kita sering sebut dengan Analisis Regresi.
Analisis Regresi itu untuk apa?

Analisis regresi sebenarnya sangat dekat dengan teknik korelasi. Beberapa penulis seperti Pedhazur (1997) membedakan dua model ini dan cenderung memandang analisis regresi lebih superior. Terlepas dari pendapat itu, analisis regresi memang dapat memberikan informasi lebih banyak daripada korelasi, yaitu prediksi.
Salah satu hasil dari analisis regresi adalah garis regresi atau garis prediksi. Setelah kita mendapatkan garis regresi ini, kita dapat melakukan prediksi mengenai besarnya skor variabel dependen berdasarkan besarnya skor dari satu atau lebih variabel independen. Selain itu kita juga dapat mengukur seberapa tepat prediksi yang kita lakukan dengan garis prediksi yang kita dapatkan.
Jadi analisis regresi itu untuk apa? Analisis regresi dilakukan jika kita ingin mengetahui kondisi hubungan antar variabel. Biasanya satu variabel dependen dengan satu atau lebih variabel independen. Jenis data dari variabel dependen biasanya berupa data kontinum. Sementara jenis data dari variabel independen dapat berupa data kontinum maupun kategorik. Analisis regresi juga dilakukan jika kita ingin mendapatkan garis regresi untuk melakukan prediksi dan memperoleh informasi mengenai seberapa baik prediksi dilakukan dengan garis tersebut.
Artikel ini akan membahas materi mengenai analisis regresi sederhana, yaitu hubungan antara satu variabel dependen dengan satu variabel independen. Konsep mengenai analisis regresi sederhana ini dapat diterapkan ke analisis regresi dengan lebih dari satu variabel independen. Analisis regresi dengan lebih dari satu variabel independen akan dibahas dalam postingan sendiri.

Scatter Plot
Jika kita membicarakan korelasi atau regresi sederhana, kita tidak dapat melepaskan diri dari scatter plot. Scatter plot berupa grafik yang menggambarkan hubungan antara dua variabel. Sesuai namanya, scatter plot berisi titik-titik (plots) yang tersebar (scatter) dalam suatu grafik. Penentuan posisi satu titik didasarkan pada besarnya nilai dari variabel independen dan dependen. Biasanya variabel independen akan digambarkan dengan sumbu x sementara variabel dependen pada sumbu y.
Baiklah, untuk lebih jelasnya kita lihat contoh berikut:

Tabel 1.

Data Kasus

Tabel 1. merupakan data dari sepuluh orang siswa yang diberi tes numerik dan kemudian dilihat nilai ulangan matematikanya. Jika dilihat sepintas rasanya kedua data itu saling terkait. Hmm…. Bagaimana jika kita lihat scatter plotnya saja? Begini caranya:

Pertama, kita buat dulu dua sumbu yang saling tegak lurus. Satu sumbu Y satu sumbu X. Sumbu X merupakan sumbu yang horizontal dan Y yang vertikal.
Kedua, kita buat skala untuk tiap sumbu dimulai dari nilai terkecil untuk tiap variabel dikurangi 1. Jadi misalnya untuk variabel tes numerik, yang akan menjadi sumbu X, kita mulai sumbu X ini dengan angka 5.
Ketiga, kita letakkan setiap poin dalam grafik tersebut berdasarkan nilainya pada sumbu X dan sumbu Y. Misalnya untuk poin pertama, kita meletakkan pada grafik dengan koordinat (6,7).
Hasil dari grafik tersebut adalah scatter plot seperti yang terlihat pada gambar 1. berikut:

Gambar 1.
Scatter Plot

Jika dilihat sepintas kita bisa melihat bahwa titik-titik tersebut memiliki pola yang cenderung naik. Ini berarti semakin besar nilai variabel independen, nilai variabel dependen juga akan naik. Ya… ya ini berarti ada korelasi yang positif antara variabel independen dan variabel dependen. Jika kita hitung angka korelasinya menggunakan rumus korelasi product momen, kita akan mendapatkan angka 0.446.
Well, selesai sudah tugas kita jika ketertarikan kita hanya ingin melihat keeratan hubungan antar variabel. Tetapi jika kita ingin melakukan prediksi variabel dependen dari variabel independennya, kita membutuhkan informasi lebih banyak dari ini, informasi mengenai garis regresi yang dinyatakan dalam bentuk persamaan Prediksi Y=a +bX. Prediksi Y adalah prediksi variabel dependen dengan menggunakan informasi dari variabel dependen, a merupakan intercept, b merupakan slope.

Garis Regresi
Jadi bagaimana kita mendapatkan garis regresi ini? Sebenarnya kalau pertanyaannya hanya sampai di sana, jawabannya mudah. Buat saja sebuah garis yang menurut kita mewakili scatter plot dalam gambar 1. “Yang manapun?” tanya seseorang mungkin. “Ya yang manapun”, jawab saya. Loh tapi kok di buku-buku itu rumus-rumusnya beribet banget?
Karena dalam buku-buku tersebut, garis regresi yang ingin didapatkan harus memiliki kriteria khusus. Garis regresi ini harus menghasilkan kesalahan prediksi paling kecil dibandingkan semua garis regresi yang mungkin dibuat.
“Kesalahan prediksi?”
Ya kesalahan prediksi. Tentu saja kita menginginkan prediksi kita tepat 100%, namun demikian dalam dunia nyata sulit sekali mendapatkan ketepatan prediksi sesempurna itu. Oleh karena itu pasti akan ada kesalahan prediksi. Misalnya kita buat saja sebuah garis regresi Prediksi dari Y=2*X. Jika ini diterapkan pada data kita sebelumnya, maka hasilnya akan seperti di tabel 2.

Tabel 2.
Tabel hasil prediksi dan kesalahan prediksi Y dari X

Prediksi dari Y adalah hasil perhitungan menggunakan garis prediksi yang kita tetapkan. Y – prediksi Y merupakan kesalahan prediksi yang kita lakukan jika kita menggunakan garis regresi yang kita tetapkan tadi.
Nah, tiap garis prediksi yang mungkin dibuat tentu saja memiliki kemungkinan salah prediksi. Dari semua garis prediksi yang mungkin dibuat, kita memilih satu yang menghasilkan kesalahan prediksi terkecil.
“Sebentar…sebentar… apa ini berarti kita harus menggambar banyak garis prediksi?”
Ya! Hehe…maaf bercanda… tidak kok. Kita tidak harus menggambar semua garis prediksi itu dan menghitung satu-satu seperti tadi. Ada sebuah teknik estimasi untuk mencari garis prediksi terbaik dalam arti memiliki kesalahan prediksi terkecil, yaitu Least Square Estimation atau sering dikenal dengan Ordinary Least Square. Dalam hal ini yang ingin dicari adalah garis prediksi yang menghasilkan jumlah kesalahan prediksi terkecil dalam bentuk kuadrat atau dirumuskan seperti ini:
“Tapi ini masih berarti kita perlu mencari nilai ini untuk setiap garis… ini berarti kita masih tetap perlu menghitung satu-satu…”
Tenang… tenang…Kita akan menghitung satu-satu seandainya di dunia ini tidak ada Calculus.
“Bagaimana mungkin tokoh komik temannya Tintin menyelesaikan masalah ini?”
Sabar… sabar… yang saya maksud bukan tokoh komik, tapi calculus dalam matematika. Dengan memanfaatkan calculus kita dapat mencari garis regresi yang akan memberikan nilai kesalahan prediksi kuadrat yang terkecil. Di sini saya tidak akan cerita bagaimana si calculus bekerja, tetapi dengan menggunakan calculus ini ditemukan bahwa ternyata garis regresi akan menghasilkan kesalahan prediksi kuadrat terkecil jika
Yaitu jika Prediksi dari Y merupakan mean dari Y untuk setiap nilai dari X. Mean yang dimaksud di sini adalah mean populasi. Inilah sebabnya mengapa Ordinary Least Square regression juga sering disebut sebagai conditional mean regression, atau teknik regresi yang didasarkan pada mean kondisional, atau mean dari Y untuk setiap nilai X.

Parameter-Parameter Garis Regresi
Lalu bagaimana rumus untuk menemukan garis regresi yang akan menghasilkan kesalahan prediksi kuadrat yang terkecil?
Kita perlu mencari satu demi satu parameter dari garis regresi kita. Parameter-parameter yang saya maksud adalah intercept dan slope seperti yang telah saya sebutkan di atas.
Intercept merupakan konstanta dalam persamaan regresi. Intercept sering dilambangkan sebagai a atau b0, yang merupakan nilai dari prediksi Y jika nilai dari X adalah nol (X=0). Intercept dapat memiliki makna praktis dalam suatu penelitian, tetapi dalam penelitian lain hanya memiliki makna matematik saja. Misalnya dalam suatu penelitian untuk menghubungkan jumlah jam latihan fisik dengan peningkatan berat badan per minggu ditemukan intercept sebesar 0.4 gram. Ini berarti jika seseorang tidak melakukan latihan fisik sama sekali, ia akan mengalami peningkatan sebesar 0.4 gram per minggu. Tetapi dalam contoh kasus kita, misalnya ditemukan intercept sebesar 0.5 tidak dapat dikatakan bahwa jika seseorang tidak memiliki kemampuan numerik, maka nilai matematika nya akan sama dengan 0.5. Dalam kasus terakhir, intercept hanya memiliki makna matematis saja.
Slope merupakan tingkat kemiringan garis regresi, yang juga berarti berapa banyaknya peningkatan Y jika X meningkat sebanyak 1 poin. Misalnya saja dalam persamaan Y = 2X, ini berarti peningkatan 1 poin dari X akan diikuti peningkatan sebanyak 2 poin dari Y.
Lalu bagaimana menghitung kedua parameter ini?
Untuk menghitung Slope kita gunakan rumus ini:
Dapat dilihat di sini bahwa rumus mencari slope ini mirip sekali dengan rumus mencari korelasi product momen. Bedanya terletak pada penyebutnya. Pada rumus korelasi, KovarianXY dibagi standard deviasi dari X dan standard deviasi dari Y, sementara ketika menghitung slope, kita membagi kovarian ini dengan varian dari X.
Sementara untuk menghitung intercept kita menggunakan rumus ini:
Baiklah kita bisa menggunakan contoh tadi untuk ilustrasinya.
Jadi kita temukan b = 0.217 ini berarti peningkatan sebanyak 1 poin pada kemampuan numerik, akan diikuti dengan peningkatan sebanyak 0.217 poin pada nilai matematika. Dan intercept sebesar a = 6.471 yang dalam kasus ini tidak memiliki makna praktis. Jika digambar, garis regresi yang kita dapatkan itu akan terlihat seperti gambar 2. Garis regresi inilah yang memiliki tingkat kesalahan prediksi kuadrat yang paling kecil.

Gambar 2.
Garis regresi dari data kasus
R2 dan Signifikasi Parameter-Parameter
“Apakah pekerjaan kita sudah beres? Kan kita sudah menemukan garis prediksinya?”
Sayang sekali belum. Kita masih harus melakukan beberapa perhitungan terkait dengan seberapa baik garis regresi kita melakukan prediksi dan apakah parameter yang kita dapatkan ini berbeda dari nol di populasi atau signifikan.
Untuk urusan yang pertama, terkait dengan seberapa baik garis regresi kita melakukan prediksi, kita dapat menggunakan nilai R2 yang sering disebut juga sebagai Sumbangan Efektif. Dalam kasus ini, kita hanya meregresikan satu variabel dependen pada satu variabel independen, oleh karena itu nilai R2 bisa didapatkan dengan secara langsung mencari kuadrat dari korelasi antara kedua variabel tersebut. Nilai korelasi product momen dari kedua variabel tersebut adalah 0.446. Angka ini tinggal dikuadratkan saja menjadi 0.199 yang berarti 19.9% variasi dari variabel dependen dapat dijelaskan oleh variabel independen. Angka inilah yang menggambarkan seberapa baik prediksi dilakukan oleh garis regresi. Semakin mendekati 100% makin baik. Memang dalam penelitian-penelitian di psikologi jarang ditemukan R2 yang besar. Angka 19.9% biasanya dianggap sudah cukup memuaskan.
Berikutnya terkait dengan apakah kita dapat menyimpulkan bahwa parameter-parameter di populasi tidak sama dengan nol? Apakah b di populasi dan a di populasi tidak sama dengan nol. Untuk mengecek hal ini, pertama yang perlu dilakukan adalah menghitung nilai F yang menguji secara keseluruhan parameter-parameter ini. Nilai F ini juga dapat digunakan untuk menguji apakah nilai R2 yang kita peroleh juga signifikan.
Jadi bagaimana melakukannya?
Pertama, kita perlu menghitung JK Regresi, JK dalam dan JK Total. Seperti Anova ya? Ya memang benar. Langkah-langkah yang dilakukan memang seperti anova karena kita juga akan melakukan uji F di sini (Bahkan sebenarnya Regresi dan Anova merupakan saudara dekat). Rumus untuk setiap JK dapat dilihat sebagai berikut:
“Sebentar…sebentar…. Rumus JK dalam ini seperti ….seperti…”
Ya… ya …. JK dalam itulah kesalahan prediksinya dalam bentuk kuadrat.
Ketiga JK ini akan distandardkan dengan membaginya dengan db masing-masing yang rumusnya sebagai berikut:
Hasil pembagian JK dengan db ini akan menghasilkan nilai MK (Mean Kuadrat). Nilai F didapatkan dari pembagian MK regresi dengan MK dalam atau :
Nah, nilai F ini yang kemudian kita konsultasikan ke tabel F untuk dicek signifikasinya.
Baiklah kita kerjakan contoh kasus kita supaya jelas penerapan rumus-rumus ini ya. Saya membuat lagi sebuah tabel yaitu Tabel 4 untuk membantu ilustrasi hitungan dalam kasus ini.

Tabel 4.
Ilustrasi hitungan.

Dalam ilustrasi tersebut prediksi dari Y ( ) dihitung menggunakan garis regresi yang sudah kita dapatkan yaitu Y=6.471+0.217*X. Baris paling akhir, yaitu baris jumlah, merupakan nilai JK dari JK dalam, JK regresi dan JK Total berturut-turut. Kita bisa amati juga bahwa JK dalam +Jk regresi akan sama dengan JK Total.

Perhitungan berikutnya yaitu db dan MK akan saya masukkan sekaligus dalam tabel rangkuman anava dalam tabel 5.

Tabel 5.
Tabel rangkuman anava

Karena F tabel > daripada F hitung, maka dapat disimpulkan bahwa kita gagal menolak hipotesis nol. Ini berarti R2 yang kita dapatkan di sampel besar kemungkinan hanya merupakan sampling error.

Lalu bagaimana dengan signifikasi parameter-parameternya? Kita akan memanfaatkan uji t untuk menguji apakah parameter-parameter regresi yang kita dapatkan itu signifikan atau tidak.
Seperti yang pernah dibahas jauh sebelum ini, rumus t yang sangat umum adalah
Dalam hal ini statistik yang menjadi perhatian adalah b, oleh karena itu rumus t-nya akan menjadi seperti ini:
Jadi mari kita terapkan dalam kasus di atas :
Nilai t yang kita dapatkan ini dibandingkan dengan tabel t pada df = N-2. Dalam hal ini df-nya menjadi 7. Nilai t tabel dengan taraf signifikasi 5% pada df = 7 adalah 2.3646… Dengan demikian dapat kita lihat bahwa b yang kita peroleh tidak signifikan. Atau dengan kata lain kita tidak memiliki bukti kuat untuk menyatakan bahwa nilai b di populasi tidak sama dengan nol.

Untuk a, rumusnya t nya tetap sama, hanya saja ada penyesuaian dengan standard deviasi dari a-nya. Rumus mencari nilai t untuk menguji a sebagai berikut:
Jika diterapkan:
Nilai ini juga dibandingkan dengan t tabel yang sama yaitu 2.3646. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa nilai a itu signifikan, atau nilai a di populasi dapat diharapkan tidak sama dengan nol.
Jadi bagaimana?
Karena nilai b tidak signifikan maka dapat disimpulkan bahwa kita belum memiliki bukti yang memadai bahwa kemampuan numerik memiliki korelasi yang signifikan dengan nilai ulangan matematika. Dengan kata lain kita belum bisa memprediksi nilai ulangan dengan menggunakan skor pada tes kemampuan numerik.

Dalam kasus kita, nilai a signifikan, tapi sayangnya dalam kasus ini nilai a tidak memiliki makna praktis sehingga tidak dapat diinterpretasi dengan baik.

OK guys postingan berikutnya kita akan bicara mengenai regresi yang melibatkan lebih dari 1 variabel independen.

Simple Effect, Contrast Analysis, dan Multiple Comparison dengan Menggunakan Syntax SPSS

2009-03-27T13:30:00.008+07:00

tulisan ini merupakan bagian dari artikel yang awalnya hendak diterbitkan di salah satu jurnal. Tapi karena beberapa alasan yang menurut saya sendiri cukup adil, tidak dapat diterbitkan dalam jurnal tersebut. Karena saya sendiri merasa tulisan ini penting untuk dibagikan maka saya memutuskan untuk menuliskannya di blog ini.

Analisis menggunakan menu yang tersedia di SPSS (SPSS Inc., 2007a) memiliki keterbatasan. Peneliti tidak dapat melakukan kustomisasi analisis jika dikehendaki. Hal ini mengakibatkan perlu melakukan beberapa langkah-langkah yang merepotkan untuk mendapatkan hasil analisis seperti simple effects atau perbandingan antar pasangan mean antar level dalam suatu variabel independen pada satu level variabel independen yang berbeda atau disebut uji-t interaksi (Hadi, 2005). Misalnya jika kita memiliki dua variabel independen yaitu metode belajar dan jenis kelamin, maka membutuhkan langkah-langkah yang merepotkan untuk melakukan perbandingan mean antar metode pada jenis kelamin laki-laki saja.

Syntax dalam SPSS diberikan untuk mengatasi keterbatasan-keterbatasan seperti ini. Peneliti perlu untuk menulis sendiri baris perintah yang biasanya tidak terlihat ketika melakukan perintah melalui menu dalam SPSS. Baris perintah yang dibutuhkan untuk melakukan seluruh analisis dapat didapatkan ketika peneliti menekan tombol paste dalam kotak dialog utama di setiap analisis. Baris perintah ini perlu ditambahkan beberapa perintah lagi untuk dapat melakukan analisis simple effects dan multiple comparison.
Keseluruhan baris perintah diberikan dalam lampiran 1. Tulisan ini hanya memfokuskan pada baris perintah yang perlu diberikan untuk mengeluarkan hasil analisis simple effects dan multiple comparison. Baris perintah tambahan yang diperlukan untuk menampilkan simple effects ini adalah /lmatrix (SPSS Inc., 2007b).

Perintah /lmatrix ini akan meminta SPSS (SPSS Inc., 2007a) untuk melakukan analisis tambahan dengan membandingkan mean antar sel hasil pertemuan antara dua atau lebih variabel independen. Format umum dari perintah ini adalah:

/LMATRIX = “label dari analisis yang kita lakukan”

analisis yang diminta dalam bentuk kode matriks.

Contoh: jika kita hendak melakukan analisis simple effects pada jenis kelamin perempuan maka baris perintah dari /lmatrix ini :

Kelompok merupakan variabel independen yang terdiri dari 3 kelompok siswa yang diberi metode pembelajaran yang berbeda, sementara jenkel merupakan variabel independen yang terdiri dari 2 kelompok jenis kelamin. Kode 1, -1 dan 0 merupakan perintah yang diberikan pada SPSS (SPSS Inc., 2007a) untuk melakukan perbandingan mean pada level tertentu. Kalimat di dalam tanda petik (“) akan dianggap sebagai judul. Pada bagian Kelompok 1 0 -1, perintah diberikan pada SPSS (SPSS Inc., 2007a) untuk membandingkan kelompok pertama dan ketiga. Bagian Kelompok*jenkel 0 1 0 0 0 -1, memberikan perintah pada SPSS untuk memberitahu kelompok pertama dan ketiga dari jenis kelamin yang mana yang dibandingkan. Dalam contoh, perintah diberikan untuk membandingkan kelompok satu dan tiga pada jenis kelamin perempuan. Kode-kode tersebut sebenarnya mewakili sel-sel yang terbentuk karena ada lebih dari satu variabel independen. SPSS membaca sel-sel ini dengan cara yang khusus seperti berikut:

Jika kode itu diaplikasikan pada tabel di Gambar 1., ini berarti kelompok 1 berjenis kelamin laki-laki mendapat nilai 0, kelompok 1 yang berjenis kelamin perempuan mendapat nilai 1, kelompok 2 laki-laki mendapat 0, kelompok 2 perempuan mendapat 0, kelompok 3 laki-laki mendapat 0 dan kelompok 3 perempuan mendapat -1. Ini berarti kita memerintahkan SPSS (SPSS Inc., 2007a) untuk membandingkan kelompok 1 perempuan dengan kelompok 3 perempuan.

Tanda titik koma (;) di akhir baris pertama dan kedua, hendak memberitahu bahwa perintah yang diberikan belum berakhir. Perbandingan mean yang lain diperlukan agar SPSS (SPSS Inc., 2007a) dapat menghitung secara lengkap simple effects pada jenis kelamin perempuan. Simple effects yang lengkap berarti kita akan membandingkan tiap kelompok dengan kelompok lain untuk satu jenis kelamin. Ini berarti perbandingan pasangan mean dilakukan antara kelompok 1 dan 2, 1 dan 3, 2 dan 3 hanya untuk jenis kelamin perempuan saja. Perbandingan pasangan mean lainnya ditulis dalam baris kedua dan ketiga.

Jika peneliti menghendaki perbandingan pasangan lain atau analisis kontras lainnya, baris perintah yang baru yang diawali dengan /lmatrix perlu ditulis untuk setiap analisis kontras.
Penulisan baris perintah /lmatrix dapat juga dilakukan dengan format sebagai berikut (mengikuti contoh simple effects) :

Baris perintah ini menambahkan kata ALL (SPSS Inc., 2007b) di awal tiap baris. Kata ini memberi tahu SPSS (SPSS Inc., 2007a) bahwa perintah yang diberikan akan diberikan dalam urutan yang memasukkan semua parameter yang diestimasi.

Baris pertama, setelah kata ALL merupakan kode untuk intercept. Baris berikutnya adalah kode untuk variabel kelompok. Baris ketiga merupakan kode untuk variabel jenis kelamin dan baris terakhir merupakan kode untuk tiap sel akibat interaksi antara dua variabel. Format ini akan berguna ketika peneliti hendak membandingkan mean antar kelompok yang berbeda levelnya pada dua variabel. Misalnya peneliti hendak membandingkan Kelompok 1 Laki-laki dengan Kelompok 3 Perempuan, maka baris perintah akan diberikan seperti berikut:

Baris pertama memberitahu SPSS (SPSS Inc., 2007a) bahwa kita tidak akan membandingkan intercept (dalam hal ini mean secara keseluruhan). Baris kedua memberitahu SPSS (SPSS Inc., 2007a) untuk membandingkan kelompok 1 dan kelompok 3. Baris ketiga memberitahu SPSS (SPSS Inc., 2007a) bahwa kita juga hendak membandingkan antar jenis kelamin. Baris terakhir memberitahu SPSS bahwa kita hendak membandingkan mean antara kelompok 1 laki-laki dan kelompok 3 perempuan.

MEMBACA HASIL ANALISIS SIMPLE EFFECTS DAN MULTIPLE COMPARISON MENGGUNAKAN SYNTAX

Hasil analisis menggunakan /lmatrix memang akan terasa terlalu banyak. Namun demikian, tampilan yang diberikan memiliki manfaat untuk mengecek kebenaran hasil analisis yang telah dilakukan: apakah SPSS (SPSS Inc., 2007a) telah melakukan analisis seperti yang diinginkan.
Tabel pertama yang disajikan oleh SPSS (SPSS Inc., 2007a) terkait dengan analisis ini memberikan gambaran global mengenai analisis apa saja yang telah dilakukan oleh SPSS (SPSS Inc., 2007a). Tabel ini dapat dilihat di lampiran 2.

Tabel kedua dapat dilihat dalam lampiran 3, berisi hasil analisis untuk tiap baris yang dilakukan. Misalnya, ketika melakukan analisis simple effects ada tiga baris perintah dituliskan. Baris pertama dalam contoh di atas membandingkan mean antara kelompok 1 perempuan dengan kelompok 3 perempuan. Oleh karena itu dalam tabel tersebut pada baris pertama diberikan hasil dari analisis perbandingan ini. Contrast estimate merupakan hasil perbandingan antara kelompok 1 dan 3 untuk jenis kelamin perempuan. Perbandingan di sini berarti mean dari kelompok yang mendapat nilai 1 (kelompok 1) dikurangi mean kelompok yang mendapat nilai -1.

Hypothesized value merupakan nilai yang menggambarkan hipotesis nol, dalam kasus ini hipotesis nol yang diajukan adalah tidak adanya perbedaan mean (hypothesized value = 0). Std Error merupakan standard deviasi dari perbedaan mean. Sig. merupakan nilai p yang didapatkan dari hasil analisis.
Baris berikutnya dari tabel tersebut memberikan hasil analisis dari baris berikutnya dalam perintah /lmatrix.

Tabel ketiga memberikan hasil analisis secara menyeluruh dari baris-baris perintah yang telah diberikan. Untuk kasus simple effects, ini berarti tabel terakhir inilah yang memberikan hasil analisis simple effects. Untuk kasus multiple comparison, hasil analisis dalam tabel kedua akan memberikan nilai p yang sama dengan hasil analisis dalam tabel ketiga ini, karena keduanya merupakan analisis yang sama hanya saja analisis pada tabel kedua menggunakana uji t sementara analisis kedua menggunakan uji F.

BEBERAPA HAL YANG PERLU DIPERHATIKAN
Ada beberapa hal yang perlu menjadi catatan. Pertama, hasil analisis menggunakan perintah /lmatrix ini tidak mengenal penyesuaian nilai p. Oleh karena itu penting bagi peneliti untuk menyesuaikan sendiri nilai p yang diperoleh dengan rumus seperti yang telah dicantumkan sebelumnya. Kedua, baris perintah /lmatrix dalam tulisan ini ditulis dengan menggunakan program SPSS versi 16 (SPSS Inc., 2007a), dan tidak selalu dapat diterapkan dalam versi-versi sebelumnya tanpa penyesuaian. Oleh karena itu penting bagi peneliti untuk mengecek kembali manual SPSS yang menyertai versi-versi lainnya.

KESIMPULAN
Hasil ANAVA belum memberikan informasi yang lengkap mengenai keadaan data penelitian. Oleh karena itu, analisis perlu dilanjutkan dengan menggunakan teknik-teknik tertentu untuk mengetahui lebih jauh keadaan data penelitian. Beberapa analisis yang dapat dilakukan antara lain : simple effects jika terdapat lebih dari satu variabel independen, perbandingan pasangan mean menyeluruh, analisis kontras kompleks, dan lain-lain.
SPSS (SPSS Inc., 2007a) menyediakan beberapa fasilitas untuk melakukan analisis-analisis tersebut. Analisis perbandingan pasangan mean menyeluruh dilengkapi pula dengan teknik-teknik untuk menyesuaikan nilai p akibat uji yang dilakukan secara terus-menerus. Selain analisis standard yang dapat dilakukan melalui kotak dialog yang tersedia, peneliti dapat melakukan uji lain yang disesuaikan dengan kebutuhan penelitian, termasuk di dalamnya analisis simple effects, dengan menggunakan fasilitas syntax. Hasil analisis dari syntax yang disajikan dalam tulisan ini perlu dicermati dalam arti peneliti perlu menyesuaikan terlebih dulu nilai p yang dihasilkan untuk mengatasi peningkatan error tipe I akibat uji hipotesis yang dilakukan secara terus menerus. Syntax yang disajikan dalam tulisan ini ditulis dalam program SPSS versi 16 (SPSS Inc., 2007a), sehingga peneliti perlu mengecek terlebih dulu kesamaan bahasa yang digunakan dalam versi lainnya.

Lampiran 1
Baris Perintah melakukan Analisis Varians beserta Simple Effects dan Multiple Comparison menggunakan Syntax SPSS

Lampiran 2
Tabel Pertama Hasil Analisis Simple Effects Menggunakan Syntax SPSS

Lampiran 3.
Tabel Kedua Hasil Analisis simple effects menggunakan Syntax SPSS

Daftar Pustaka

Aron. A. & Aron. E. N.(2003). Statistics for psychology. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall

Hadi.S. (2005) Aplikasi Ilmu Statistika Di Fakultas Psikologi. Anima, Indonesian Psychological Journal. Vol. 20 (3) : 203-229.

Howell.D.C.(1982).Statistical methods for psychology. Boston, MA: Duxbury Press.

Keppel, G & Wickens, T.D.(2004). Design and Analysis, A Researcher’s Handbook. Fourth Edition. Upper Saddle River : Pearson Prentice Hall.

Santoso. A. (2008). Anava Identity: Post Hoc dan Kontras (dan Usaha mengendalikan tipe error I). Retrieved February 26, 2009 from www.psikologistatistik.blogspot.com.

SPSS Inc. (2007). SPSS 16.0 for Windows. Chicago, IL : Author.

SPSS Inc.(2007). SPSS 16.0 Command Syntax Reference. Chicago, IL: Author.

Supratiknya. A.(2000). Statistik Psikologi. Jakarta : Grasindo

Analisis Varians Desain Faktorial di SPSS (bagian 2)

2009-03-27T13:02:00.006+07:00

Dalam postingan ini saya akan membahas materi yang terkait dengan bagaimana melakukan simple effects dalam program SPSS. Pada dasarnya ada 2 cara melakukan simple effects dalam SPSS: cara yang mudah dan cara yang sulit. Memang sih mudah sulit itu tergantung pada the eye of the beholder...cie ileh... maksudnya tergantung yang lihat. Nah dalam artikel ini akan disajikan satu cara saja sementara cara yang lain akan ditulis dalam postingan berikutnya.

Menggunakan Analisis Varians 1 Jalur
Cara yang cukup mudah menurut saya, walaupun agak merepotkan (dan terkesan manual), adalah dengan menggunakan menu analisis varians 1 jalur di SPSS. Well, pada dasarnya analisis simple effects itu memang analisis 1 jalur, karena menghitung variasi mean ditinjau dari satu variabel independen saja. Perbedaannya terletak pada variasi errornya (JK dalam atau JK error atau SS error). Analisis varians 1 jalur, karena hanya memperhitungkan 1 variabel saja, maka variasi errornya akan cenderung lebih besar daripada simple effects yang juga memperhitungkan variasi yang dapat dijelaskan oleh variabel lain.
Baiklah, baiklah... kita beri contoh saja ya. Kita menggunakan contoh dalam postingan sebelumnya. Data yang digunakan juga sama agar kesinambungannya terjaga. Hasil dari analisis varians 2 jalur sebelumnya dapat dilihat di gambar 1 ini:

Gambar 1.

Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa ada interaksi antara variabel model pembelajaran dan jenis kelamin. Lebih lanjut kita ingin menguji apakah ada perbedaan prestasi belajar antara siswa laki-laki yang diberi metode pembelajaran yang berbeda. Oleh karena itu kita perlu melakukan simple effects.
Kita memulai analisis dengan memerintahkan SPSS untuk menyeleksi subjek-subjek yang akan dianalisis, dalam hal ini kita hanya ingin analisis dilakukan pada subjek siswa laki-laki saja. Kita klik menu Data-Select Cases... lalu muncullah dialog box seperti berikut:

Gambar 2.

Dalam dialog box ini kita pilih If condition is satisfied sehingga tombol If... menjadi terbuka. Kita klik tombol If... ini sehingga muncul dialog box kedua seperti gambar 3.

Gambar 3.

Dalam dialog box ini, kita pindahkan variabel Jenis Kelamin ke kotak di sebelah kanan. Kemudian kita tuliskan ”=1” di sebelah kanan Jenis Kelamin. Ini dilakukan karena kita ingin memilih subjek yang berjenis kelamin laki-laki saja (dalam data, jenis kelamin laki-laki itu diberi nilai 1 sementara perempuan =2). Contoh dapat dilihat dalam gambar 4.

Gambar 4.

Setelah kita tuliskan, kita klik Continue sehingga kita kembali pada dialog box sebelumnya, lalu kita klik OK. Kalau kita amati, dalam tampilan data editor, semua nomor kasus subjek dengan jenis kelamin perempuan akan diberi tanda garis diagonal ke arah kanan atas. Ini menunjukkan dalam analisis berikutnya SPSS hanya akan menyertakan subjek laki-laki saja.
Langkah berikutnya, kita melakukan analisis varians 1 jalur seperti biasa dengan Model Pembelajaran sebagai variabel Independennya (Factor), melalui menu Analyze-Compare Means-One Way Analysis of Variance. (Kalau ada yang lupa bisa lo baca artikel-artikel sebelumnya mengenai analisis varians 1 jalur di SPSS). Hasil dari analisis varians 1 jalur ini sebagai berikut:

Gambar 5.

Angka yang kita butuhkan dari tabel ini hanyalah angka Mean Square Between Groups (MS between atau MK antar) yaitu 7.000. Nah angka inilah yang kemudian kita bagi dengan angka MK error dari hasil analisis varians 2 jalur dalam gambar 1 sebesar 1.444. Ini dia sisi manualnya. Hasil pembagian kedua angka ini menghasilkan angka F sebesar 4.848. Angka ini kemudian dikonsultasikan dengan tabel F dengan df pembilang sebesar 2 dan df penyebut sebesar 18. Atau kita bisa juga menggunakan program MS Excell untuk mendapatkan nilai p-nya dengan rumus

=FDIST(F hitung,df pembilang,df penyebut)
=FDIST(4.848,2,18)

Dari fungsi ini kita dapatkan nilai p sebesar 0.021. Ini berarti ada perbedaan prestasi belajar yang signifikan antara siswa laki-laki yang mendapat metode pembelajaran yang berbeda-beda.
Proses ini dapat dilakukan berulang-ulang untuk simple effects lainnya. Misalnya jika kita ingin melihat pengaruh metode pembelajaran terhadap prestasi hanya pada siswa berjenis kelamin perempuan.

Syntax SPSS
Selain menggunakan cara manual seperti di atas kita juga dapat melakukan simple effects dengan menggunakan Syntax dari SPSS. Syntax ini semacam ”bahasa”-nya SPSS dalam melakukan program. Kita dapat menambahkan beberapa perintah dalam syntax ini untuk meminta SPSS melakukan simple effects.
Caranya? Hmm... saya kebetulan pernah menulis satu tulisan untuk jurnal tertentu. Tapi karena ditolak untuk diterbitkan, saya pikir ada baiknya juga saya publikasikan di blog ini agar informasi di dalamnya tidak berhenti di meja saya. Jadi materi khusus mengenai cara melakukan simple effects dan juga multiple comparison dapat dilihat dalam artikel berikutnya.
Fiuhh.... Selesai sudah analisis varians desain faktorial.... Pembahasan sepertinya akan berlanjut ke Regresi. Caio Caio!

Analisis Varians Desain Faktorial di SPSS

2009-03-13T08:46:00.014+07:00

Postingan ini berisi tahap-tahap melakukan analisis varians desain faktorial dengan menggunakan SPSS dari mulai analisis main effects dan interaksinya sampai melakukan analisis simple effectsnya.
Untuk keperluan ini kita akan tetap menggunakan contoh yang telah digunakan sebelumnya yaitu mengenai penelitian efek model pembelajaran terhadap prestasi. Dalam postingan ini kita menambahkan satu lagi variabel independen dalam analisis yaitu jenis kelamin.

Tahap-Tahap Analisis Menggunakan SPSS

Setelah file dibuka, kita memilih menu Analyze-General Linear Model-Univariate lalu muncul dialog box seperti gambar 1. berikut ini:

Gambar 1.

Wow… sepertinya kerjaan saya bakal banyak nih. Well, pertama tentunya kita perlu memasukkan nama-nama variabel ke dalam kotak-kotak dalam dialog box ini.

Kotak Dependent Variable tentunya diisi dengan variabel dependen penelitian. Variabel independen akan dimasukkan ke dalam salah satu dari dua kotak ini: Fixed Factor(s) dan Random Factor(s). Fixed factor merupakan variabel independen yang level/kelompok di dalamnya dapat dipilih secara bebas oleh peneliti dan ada dalam kekuasaan peneliti. Oleh karena itu dalam penelitian berikutnya, peneliti dapat memilih untuk memasukkan kelompok-kelompok yang sama dengan penelitian sebelumnya secara pasti. Random Factor merupakan variabel independen yang level/kelompok di dalamnya ditentukan secara random oleh peneliti, tidak ditetapkan secara bebas. Penentuan kelompok-kelompok untuk masuk dalam random factors dilakukan secara random dan berada di luar kekuasaan peneliti. Oleh karena itu peneliti tidak memiliki kemampuan untuk memilih kelompok yang sama untuk masuk dalam penelitian berikutnya.

Contoh Fixed Factors itu begini: Dalam contoh penelitian kita, variabel jenis kelamin dan metode pembelajaran merupakan fixed factors, karena kelompok/level di dalamnya dapat kita tentukan secara bebas. Kita dapat secara bebas memilih untuk memasukkan metode Ceramah, Diskusi dan Experiential Learning, sehingga pada penelitian berikutnya kita masih tetap bisa memasukkan ketiga metode ini dalam penelitian kita.

Contoh Random Factors begini: Misalnya kita hendak melakukan penelitian untuk melihat efek tipe pola asuh orang tua terhadap prestasi belajar (misalnya tipe pola asuh terdiri dari 4 tipe), khususnya jika data mengenai pola asuh baru diambil setelah subjek-subjek ditentukan. Dalam kasus ini, sangat mungkin hanya terdapat 3 tipe pola asuh dalam satu penelitian (misalnya A,B dan C) sementara dalam penelitian berikutnya terdapat 3 tipe pola asuh yang berbeda (misalnya A, C, dan D) atau bahkan hanya terdapat 2 tipe pola asuh saja.

Untuk kotak Covariates dan WLS Weight tidak dibahas dulu ya, karena terkait dengan pembahasan yang berbeda dari analisis varians desain faktorial.
(Fiuhh baru membahas memasukkan variabel saja dah ribet nih hehe…)

Berikutnya kita klik Options, maka muncullah dialog box berikut ini (lihat gambar 2.):

Gambar 2.

Ada beberapa hal yang tidak akan dibahas dalam dialog box ini karena belum dapat dijelaskan di sini atau karena akan bikin bingung kalo dijelasin (atau juga karena saya belum tahu fungsinya untuk apa … hehe…).

Estimated Marginal Means, dalam kotak ini kita dapat meminta SPSS untuk menampilkan mean keseluruhan, mean tiap kelompok untuk tiap variabel atau untuk interaksi antar variabel. Caranya dengan mengklik variabel yang kita ingin lihat meannya (ada di sebelah kiri) dan memindahkannya ke kanan (dalam contoh di atas saya memindah variabel model). Kita juga bisa meminta SPSS untuk melakukan perbandingan berpasangan dalam tiap main effect, dengan mengklik kotak di sebelah kiri Compare main effects, lalu memilih metode untuk melakukan penyesuaian signifikasinya.
Kita juga bisa meminta SPSS untuk menampilkan beberapa parameter lain dengan menggunakan pilihan dalam Display. Descriptive statistics akan meminta SPSS untuk menampilkan statistik deskriptif dari tiap kelompok. Estimates of effect size akan menampilkan partialled eta square (ukuran mengenai besar kecilnya pengaruh/efek). Homogeneity test akan meminta SPSs menampilkan tes terhadap asumsi homogenitas varians antar kelompok. Sementara pilihan lain untuk sementara tidak kita bahas dulu ya. Pada bagian paling bawah, kita dapat mengatur tingkat signifikasi dari Confidence Interval penelitian kita. Setelah semua opsi yang kita inginkan dipilih kita bisa klik continue untuk kembali ke dialog box awal.

Berikutnya kita klik post hoc (ya untuk sementara tombol save kita lewati dulu ya). Tombol ini akan menampilkan dialog box yang mirip dengan tombol yang sama dalam analisis varians 1 jalur. Kita akan memilih untuk melakukan perbandingan pasangan secara menyeluruh dengan teknik tertentu. Tentu saja karena kita memiliki lebih dari 1 variabel independen, kita perlu menentukan dulu variabel mana yang akan kita analisis perbandingan pasangannya. Caranya, pilih lalu pindahkan ke kolom di sebelah kanan. (lihat gambar 3).
Dalam contoh di gambar 3, saya hanya memasukkan variabel model karena variabel itu memiliki lebih dari 2 kelompok. Sementara variabel jenkel tidak dimasukkan karena hanya memiliki 2 level/kelompok, sehingga tidak dibutuhkan analisis perbandingan pasangan. Hasil analisis perbandingan pasangan untuk jenkel akan sama dengan hasil analisis main effects untuk jenkel juga.

Gambar 3

Setelah kita memilih analisis mana yang akan dilakukan kita kembali ke dialog box awal dengan mengklik continue.
Berikutnya kita klik plot. Dialog box ini (lihat gambar 4) akan mengatur mengenai tampilan means plot dalam output SPSS nanti. Grafik yang dihasilkan akan sama dengan yang saya tampilkan dalam tulisan sebelumnya mengenai analisis varians desain faktorial bagian 2, ketika membahas interaksi.

Gambar 4.

Dalam dialog ini kita dapat memilih untuk memasukkan satu variabel dalam satu diantara 3 kolom yang berbeda: horizontal axis jika kita ingin variabel tersebut ditampilkan di axis horisontal (pada sumbu x), separae lines jika kita ingin kelompok dalam variabel tersebut digambarkan dalam garis terpisah, dan separate plots (jika terdapat lebih dari dua variabel independen) jika kita ingin menampilkan tiap kelompok dalam variabel tersebut dalam grafik tersendiri.
Setelah memilih variabel untuk tiap kolom, jangan lupa untuk mengklik Add untuk memasukkan perintah itu dalam kotak di bagian bawah dialog box. Jika kita lupa melakukannya, maka SPSS tidak akan menampilkan grafik tersebut.
Lalu seperti biasa klik continue…

Dialog box berikutnya yang akan dibahas adalah contrast. Dalam dialog box ini (lihat gambar 5) kita tidak bisa dengan bebas menentukan contrast yang kita inginkan, tidak seperti dialog box contrast pada analisis varians 1 jalur. Kita hanya punya beberapa pilihan melakukan contrast :

Deviation yaitu menghitung kontras antara mean tiap level dengan mean total,

Simple yaitu kontras antara satu kelompok yang ditentukan dengan kelompok lain. Penentuan kelompok ini didasarkan pada pilihan pada Reference Category. Kita dapat memilih Last yang berarti kita akan membandingkan kelompok-kelompok lain hanya dengan kelompok terakhir, atau First yang berarti kelompok yang ditentukan adalah kelompok pertama.

Difference yaitu kontras antara kelompok pertama dengan kedua, dan kelompok berikutnya dengan rata-rata dari jumlah kelompok-kelompok sebelumnya. Misalnya dalam contoh kita dengan tiga kelompok, ini berarti kita membandingkan kelompok C dengan D, kemudian membandingkan kelompok EL dengan rata-rata dari C+D.

Helmert ini merupakan kebalikan dari Difference. Jadi kelompok pertama dibandingkan dengan rata-rata dari jumlah semua kelompok berikutnya dan seterusnya.

Gambar 5.

Repeated yaitu kontras antara kelompok pertama dengan kedua, kedua dengan ketiga, ketiga dengan keempat dan seterusnya.

Polynomial yaitu kontras untuk mengecek apakah bentuk perbedaan mean dari kelompok yang berurutan itu bersifat linear. Maksudnya apakah kelompok 1 akan selalu lebih rendah / tinggi dari kelompok2, dan kelompok 2 akan selalu lebih rendah / tinggi dari kelompok 3 dst. Ini mirip sekali dengan analisis linearitas yang ditemukan dalam menu Analyze-compare means-means.

Yang perlu diingat : setelah menentukan contras yang ingin dilihat, jangan lupa mengklik Change agar SPSS menjalankan perintah ini. Jika lupa diklik, SPSS juga tidak akan melakukan analisis kontras ini, dan tentunya klik Continue.

“Sebentar… tadi dikatakan kita tidak bisa dengan bebas melakukan kontras di sini. Adakah cara lain untuk bisa menentukan contras dengan bebas?” begitu mungkin pemikiran beberapa teman. Ya tentunya ada caranya, tapi … tidak kita bahas dulu di sini mengingat materinya yang agak kompleks.

Nah tombol terakhir Model untuk sementara tidak dibahas dulu di sini ya. Kita akan bertemu lagi nanti ketika kita membahas Analisis Kovarian.

Well, everything is set up. Sekarang kita tinggal mengklik OK dan memberi waktu pada SPSS untuk melakukan analisisnya. (Juga waktu pada saya untuk ngopi-ngopi dulu sebelum menjelaskan hasil analisisnya nih).

Membaca Hasil Analisis
Dua tabel pertama dari hasil analisis ini berisi mengenai deskripsi dari data yang diolah, termasuk di dalamnya jumlah subjek, mean dan standard deviasi dari tiap kelompok (lihat gambar 6.)

Gambar 6.

Tabel berikutnya berisi hasil uji asumsi homogenitas varians menggunakan Levene’s test. Asumsi homogenitas dinyatakan dipenuhi jika nilai p lebih besar dari signifikasi yang diacu (misalnya 0.05). Untuk menyegarkan ingatan bisa membaca postingan terdahulu mengenai asumsi ini di t-test maupun di anava satu jalur. Tabel hasil analisis dapat dilihat dalam gambar 7.

Gambar 7.

Dalam contoh asumsi homogenitas terpenuhi karena p=0.664 yang berarti tidak ada perbedaan varians antar kelompok.
Hasil analisis varians merupakan tabel yang ditampilkan berikutnya (lihat gambar 8.).

Gambar 8.

Dalam tabel tersebut dapat dilihat bahwa baik variabel Model maupun Jenis Kelamin tidak memiliki nilai F yang signifikan. Ini berarti tidak ada perbedaan mean prestasi antara siswa yang mendapat model C, D maupun EL. Begitu juga tidak ada perbedaan prestasi antara siswa laki-laki dan perempuan. Namun demikian dapat terlihat adanya interaksi yang signifikan antara model pembelajaran dengan jenis kelamin. Ini berarti efek model pembelajaran pada prestasi akan berbeda untuk jenis kelamin yang berbeda. Oleh karena itu kita perlu untuk mengecek lebih jauh efek-efek ini dengan melakukan analisis simple effects-nya.

Dua tabel berikutnya merupakan akibat dari perbuatan kita sebelumnya dengan mengklik contrast. Ini yang disebut tabel hasil analisis kontras (lihat gambar 9). Dalam dialog box contrast sebelumnya saya memilih analisis simple dan memilih kelompok terakhir (dengan value label 3) sebagai kelompok referensinya. Dengan demikian dalam hasil tersebut ditunjukkan perbandingan kelompok-kelompok lain dengan kelompok referensi ini. Tabel pertama berisi uji perbedaan untuk tiap kelompok, sementara tabel kedua merupakan uji kontras ini secara keseluruhan. Hasilnya tentu saja akan sama dengan analisis untuk variabel model. Coba bandingkan dengan tabel analisis varians 2 jalur di atas untuk variabel model.

Gambar 9.

Dalam tabel pertama dapat dilihat bahwa tidak satupun perbandingan yang memiliki nilai p yang signifikan. Perlu dicatat bahwa nilai p dalam tabel ini belum disesuaikan dengan banyaknya kontras yang dilakukan. Oleh karena itu kita perlu melakukan penyesuaian sendiri entah dengan metode bonferoni atau metode lainnya. Untuk estimasi saja kita bisa mengalikan nilai p dengan banyaknya perbandingan yang dilakukan. Dalam hal ini ada dua perbandingan yaitu antara C dengan EL dan D dengan EL. Oleh karena itu nilai p dalam tiap tabel ini dapat dikalikan 2 sebagai estimasi nilai p yang sesungguhnya. Misalnya untuk perbandingan C dengan EL nilai p yang didapatkan adalah 0.163, oleh karena itu estimasi nilai p yang sebenarnya adalah 0.163 x 2 = 0.326.

Tabel yang dihasilkan akibat kita meminta SPSS untuk menampilkan mean dalam dialog box option serta memilih compare main effects disajikan dalam tiga tabel berikutnya (lihat gambar 10 dan 11).

Gambar 10

Gambar 11

Tabel pertama menampilkan nilai mean dan standard error dari mean serta CI 95% dari nilai mean. Tabel kedua memberikan informasi mengenai perbandingan pasangan antar mean kelomnpok, disertai nilai p yang dihasilkan untuk menentukan signifikasi perbedaannya. Tabel ketiga menampilkan hasil analisis perbedaan antar mean secara keseluruhan ini. Tabel kontras tersebut sama dengan tabel kontras yang dihasilkan dari analisis kontras sebelumnya karena mean yang dilibatkan masih sama.

Kalau diamati nilai p untuk hasil analisis perbandingan antara kelompok C dan EL (level 1 dan 3) memiliki nilai yang sama dengan analisis perbandingan yang dihasilkan dari analisis kontras sebelumnya (mean difference = .875). Yang berbeda adalah nilai p-nya. Tetapi dapat dilihat hubungan nilai p dari tabel ini dan nilai p dari tabel analisis kontras sebelumnya, yaitu nilai p yang dihasilkan dari tabel ini (p=0.488) sama dengan 3 kali (tiga di sini adalah banyaknya perbandingan pasangan yang dilakukan dalam analisis kita saat ini) nilai p dari tabel analisis kontras sebelumnya (p=0.163). Ini terjadi karena dalam analisis kali ini, kita sudah memesan SPSS untuk melakukan penyesuaian menggunakan metode Bonferroni.

Tabel terakhir dalam analisis ini adalah tabel post hoc test yang juga kita pesan. Tentu saja dalam contoh kali ini saya melakukan seheboh ini dengan mengklik semua kemungkinan untuk menunjukkan apa yang akan terjadi berikutnya. Dalam keadaan sesungguhnya, kita hanya perlu memilih analisis yang memang kita perlukan. Tabel post hoc test dapat dilihat dalam gambar 12 berikut:

Gambar 12.

Cara interpretasi hasil analisis ini seperti tabel post hoc dalam hasil analisis varians satu jalur. Jika teman-teman bandingkan maka tabel ini persis sama dengan tabel perbandingan mean sebelumnya, baik hasil analisis maupun nilai p nya. Oleh karena itu, jika kita sudah meminta SPSS melakukan compare main effects dalam dialog box options, kita tidak perlu lagi memilih post hoc test. Kecuali jika kita ingin melakukan analisis dengan teknik lain selain yang disediakan dalam dialog box options.

Aaaah akhirnya kita sampai pada tampilan terakhir yaitu Means plot. Hasil means plot dalam analisis varians desain faktorial agak berbeda dengan analisis varians satu jalur. Kita bisa memesan untuk menampilkan posisi masing-masing kelompok dari variabel satu pada tiap level dari variabel lain (lihat gambar 13).

Gambar 13.

Dalam tabel ringkasan anava di atas, kita menemukan bahwa ada interaksi yang signifikan antara model pembelajaran dan jenis kelamin. Grafik di atas memberikan gambaran mengenai interaksi antara kedua variabel. Dalam hal ini dapat kita lihat bahwa siswa perempuan memiliki nilai yang lebih baik ketika memperoleh metode ceramah dibandingkan laki-laki. Tetapi metode diskusi terlihat lebih berguna untuk siswa laki-laki daripada perempuan, karena nilai yang dimiliki siswa laki-laki yang menerima metode diskusi lebih baik daripada perempuan. Sementara untuk metode EL perbedaan antara laki-laki dan perempuan tidak cukup besar.

Sebentar…sebentar… tapi gimana tahu bahwa perbedaan antara siswa laki-laki yang memperoleh ceramah lebih rendah daripada yang memperoleh diskusi? Kalau tidak salah ada yang namanya simple effects… gimana melakukannya di sini?

Wah wah wah… masih ingat juga ya… baiklah kita bahas di postingan berikutnya ya…

Analisis Varian Satu Jalur di SPSS

2009-01-30T15:37:00.026+07:00

Dalam postingan ini, saya akan menunjukkan bagaimana melakukan Analisis Varian di SPSS hingga analisis post hoc. Dalam postingan berikutnya akan dibahas mengenai melakukan Analisis Varian Desain Faktorial hingga menghitung Simple Effects di SPSS.
Hmm... sepertinya bakal kerja keras nih...

Oke deh, kita akan menggunakan contoh dalam postingan-postingan sebelumnya untuk menunjukkan tahapan melakukan Analisis Varian di SPSS. Oh ya, saya menggunakan SPSS versi 16 dalam posting ini. Tetapi pada dasarnya caranya sama untuk versi yang sebelumnya.

Permasalahan dan Hipotesis Penelitian
Kita awali dulu dari permasalahan yang ingin dijawab. Permasalahan dalam penelitian kemarin adalah apakah metode pembelajaran yang berbeda akan memberikan pengaruh yang berbeda pada prestasi belajar. Perbedaan pengaruh ini akan ditunjukkan dengan perbedaan skor prestasi belajar.
Hipotesis nol yang diajukan dalam penelitian ini adalah tidak ada perbedaan skor prestasi belajar antara siswa yang mengikuti metode pembelajaran experiential learning (EL) , diskusi (D), dan ceramah (C).

Tahap Analisis Menggunakan SPSS

Pertama tentunya kita perlu mengetahui dimana fungsi Analisis Varian di SPSS. Analisis Varian satu jalur terletak di Analyze-Compare Means-One Way Anova. (lihat gambar 1).

gambar 1

Setelah di klik maka muncullah dialog box seperti di gambar 2 berikut ini:

gambar 2

Ini memang data yang digunakan untuk postingan analisis varian desain faktorial. Jadinya ada dua variabel independen dalam datanya. Untuk kepentingan postingan ini, yang digunakan hanya model pembelajaran jadi sementara jenis kelaiminnya diabaikan dulu ya.

Pertama kita memasukkan dulu variabel-variabel terkait dalam kotak yang semestinya. Untuk kotak Dependent List tentunya diisi variabel dependen, sementara Factor diisi variabel independen.
Cara memasukkannya? Gini, kita pilih dulu variabel yang akan dimasukkan ke kotak Dependent List lalu kita klik tombol bergambar tanda panah di sebelah kiri kotak Dependent List. Demikian juga untuk memasukkan variabel independen ke kotak Factor, kita pilih variabelnya lalu klik pada tombol anak panah di sebelah kiri kotak Factor.

Nah kemudian kita klik tombol Options, sehingga muncul dialog box seperti berikut (gambar 3).

gambar 3

Dalam dialog box ini ada beberapa pilihan. Descriptive dipilih jika kita ingin menampilkan tabel statistik deskriptif dalam output. Homogeneity of variance test dipilih untuk menampilkan perhitungan cek asumsi homogenitas varians. Brown-Forsythe dan Welch dipilih untuk melakukan analisis alternatif jika asumsi homogenitas varians tidak terpenuhi oleh data. Untuk sementara pembahasan mengenai Fixed and Random effects tidak dilakukan dulu ya.
Di bagian tengah ada pilihan Means plot ini dipilih jika kita ingin menampilkan grafik yang menggambarkan posisi mean tiap kelompok.

Jika sudah di pilih kita klik continue untuk kembali ke dialog box sebelumnya. Pilihan post hoc dipilih jika kita ingin melakukan analisis perbandingan pasangan keseluruhan (baca postingan berjudul Anava Identity: Post Hoc Dan Kontras), yaitu kita hendak menganalisis semua perbandingan antara dua kelompok yang mungkin. Misalnya dalam contoh di atas kita ingin menganalisis perbedaan antara kelompok yang mendapat metode EL dengan C, C dengan D, dan D dengan EL. Ini dilakukan tentunya setelah kita mengetahui bahwa hipotesis nol ditolak. Dialog box yang muncul ketika kita klik post hoc dapat dilihat dalam gambar 4 dibawah ini:

gambar 4

Dalam dialog ini banyak sekali pilihan analisis yang dapat dilakukan, tetapi pada dasarnya dapat dikelompokkan menjadi 2 yaitu analisis perbandingan dengan berasumsi bahwa variasi antara dua kelompok sama dan analisis perbandingan tanpa berasumsi bahwa variasi antara kedua kelompok sama. Saya tidak dapat membahas satu-persatu selain karena keterbatasan pengetahuan saya juga karena ruang yang terbatas. Beberapa analisis ini saya singgung sedikit dalam tulisan di posting berjudul Anava Identity: Post Hoc dan Kontras.
Baiklah kita akan memilih Bonferoni dan Games-Howell dalam posting ini. Setelah dipilih, kita klik continue sehingga kembali ke dialog box awal.

Jika kita ingin melakukan beberapa analisis khusus misalnya hanya akan membandingkan dua perbandingan saja dari tiga perbandingan yang mungkin, atau ingin membandingkan efek dari dua treatmen sekaligus terhadap treatmen yang lain, kita dapat melakukannya dengan contrast (lihat lagi di Anava Identity: Post Hoc dan Kontras). Misalnya kita ingin membandingkan efek dari ceramah dan diskusi dengan efek dari experiential learning.
Dalam hal ini ada beberapa hal yang perlu dilakukan terlebih dulu yaitu menentukan koefisien atau bobot dari tiap kelompok. Syarat dari bobot ini yaitu jumlah dari bobot harus sama dengan nol (atau bahasa kerennya harus bersifat ortogonal). Jelasnya begini:
Misalnya kita ingin membandingkan kelompok yang memperoleh metode C dengan EL. Dengan demikian kita dapat dikatakan mengeluarkan metode D dari persamaan, oleh karena itu metode D akan diberi bobot 0. Sementara kelompok C mendapat bobot -1 dan EL mendapat 1 (atau sebaliknya) seperti dalam tabel 1.

tabel 1

Jika gambar 5 kita ubah dalam persamaan maka akan diperoleh persamaan seperti ini:
Jika kita ingin membandingkan efek dari C dan D secara bersamaan dengan EL, maka kita akan memberi bobot -0.5 pada C dan D sementara EL mendapat bobot 1, atau C dan D mendapat bobot 0.5 sementara EL mendapat bobot -1 lihat Tabel 2.

tabel 2.

Jika kita ubah gambar 6 dalam bentuk persamaan maka akan diperoleh:
Koefisien ini yang kemudian kita masukkan dalam kotak coefficients dalam dialog box yang muncul setelah kita klik contrast seperti gambar 5 di bawah ini:

Gambar 5

Cara memasukkannya begini:
Pertama kita tuliskan dulu bobot dari kelompok yang diberi label 1 (misalnya ceramah) yaitu -1, kemudian klik Add. Kita tuliskan bobot dari kelompok yang diberi label 2 (misalnya Diskusi) yaitu 0, kemudian klik Add, dan terakhir kita tuliskan bobot dari kelompok yang diberi label 3 (misalnya EL) yaitu 1, dan klik Add. Jika benar memasukkannya maka tampilan dialog box nya akan seperti gambar 6 berikut:

gambar 6.

Bagaimana jika kita ingin memasukkan lebih dari satu kontras? Kita tinggal klik Next dan mengisikan kembali bobot dari tiap kelompok sesuai dengan perbandingan yang kita inginkan. Gambar 7 menunjukkan koefisien untuk perbandingan antara C dan D bersama-sama dengan EL.
Nah jika urusan dalam dialog box ini sudah selesai kita dapat klik continue dan kembali ke dialog box awal. Jika kita sudah melakukan semua hal yang perlu, kita tinggal klik OK dalam dialog box awal ini, lalu SPSS akan melakukan analisisnya...
Hasil Analisis
Tidak semua langkah yang saya lakukan perlu dilakukan. Jika ada langkah yang dirasa kurang perlu mungkin tidak perlu ditiru. Saya melakukannya hanya untuk kepentingan demonstrasi saja supaya dapat terlihat seperti apa hasil dari analisisnya. OK sekarang kita lihat hasilnya.

1. Statistik Deskriptif
Tabel ini menampilkan statistik deskriptif dari dari tiap kelompok serta kelompok secara keseluruhan yang mencakup jumlah subjek (N), mean, standard deviasi, standard error (standard deviasi mean), confidence interval dari mean, dan nilai terendah dan tertinggi.

2. Cek Asumsi Homogenitas
Tabel ini memberikan informasi mengenai homogenitas varians antar kelompok. Seperti dijelaskan dalam postingan sebelumnya, analisis varians dilakukan dengan berasumsi bahwa varians antar kelompok bersifat homogen. Hipotesis nol dalam analisis homogenitas varians adalah varians antar kelompok bersifat homogen atau tidak ada perbedaan varians antar kelompok. Oleh karena itu asumsi homogenitas dinyatakan terpenuhi jika Sig. (nilai p) lebih besar dari alpha yang ditetapkan (misalnya 0.05) dan dinyatakan dilanggar jika p lebih kecil dari 0.05.

3. Tabel Ringkasan Anava
Tabel inilah yang memberikan informasi mengenai hasil analisis varians dan uji hipotesis. Tabel ini memberikan informasi mengenai JK antar (sum of squares between groups), JK dalam (sum of squares within groups), JK total (sum of squares total), db (atau df) dan Mean kuadrat serta nilai F dan nilai p. Hipotesis nol akan ditolak jika p lebih kecil dari 0.05, dan gagal ditolak jika p lebih besar dari 0.05. Dalam contoh di atas hipotesis nol gagal ditolak karena nilai p lebih besar dari 0.05.

4. Analisis Alternatif
Karena kita tadi memilih beberapa analisis alternatif yang dapat mengatasi pelanggaran asumsi homogenitas varians, maka spss akan menampilkan analisis alternatif ini setelah tabel ringkasan anava. Kita memilih kedua analisis alternatif yaitu Brown-Forsythe dan Welch.
Dalam tabel ini, kita dapat melihat nilai dari hasil tiap analisis dan nilai p nya. Hipotesis nol akan ditolak jika nilai Sig. (p) lebih kecil dari 0.05 dan akan gagl ditolak jika lebih besar dari 0.05. Dalam contoh di atas baik analisis Welch maupun Brown-Forsythe memberikan hasil yang sama yaitu hipotesis nol gagal ditolak.

5.Analisis Kontras

Dua tabel berikutnya terkait dengan analisis kontras. Tabel pertama memberikan informasi mengenai kontras yang dianalisis sementara tabel kedua memberikan hasilnya. Tabel pertama dapat dilihat sebagai berikut:
Tabel ini hanya mengingatkan kita mengenai koefisien yang kita masukan sebelumnya. Dalam tabel dapat dilihat ada dua kontras, yang pertama membandingkan EL dengan C, yang kedua membandingkan C dan D bersama dengan EL.

Tabel kedua dapat dilihat dalam tampilan berikut:
Tabel ini berisi hasil analisis kontras baik dengan berasumsi varians antar kelompok sama maupun tidak. Dalam tabel ini nilai Sig. (atau p) belum disesuaikan dengan mempertimbangkan banyaknya perbandingan / kontras yang kita lakukan (penjelasan lebih detil ada di posting Anava Identity: Post Hoc dan Kontras). Oleh karena itu nilai p dalam tabel ini masih perlu dikoreksi dengan menerapkan rumus di bawah ini:
Untuk kontras pertama nilai p = 0.289, ini berarti hasil koreksinya menjadi :
Penyesuaian ini dilakukan dengan menggunakan teknik dari Bonferoni. Penyesuaian dapat dilakukan dengan menggunakan teknik lain, tetapi saya memutuskan tidak membahasnya di sini.

6. Hasil analisis post hoc
Tabel terakhir adalah tabel yang memberikan hasil analisis post hoc untuk semua kemungkinan perbandingan kelompok. Tabel yang dihasilkan dapat dilihat berikut ini:
Tabel ini memberikan hasil analisis dari dua teknik yang dipilih sebelumnya yaitu Bonferroni dan Games-Howell. Bonferroni dilakukan dengan berasumsi adanya homogenitas varians, sementara Games-Howell dilakukan tanpa asumsi homogenitas varians.

Kolom Mean Difference memberikan informasi mengenai perbedaan mean antara satu kelompok dengan kelompok lain. Misalnya dalam contoh, baris pertama memberikan informasi mengenai perbedaan mean antara kelompok C dengan D (dalam hal ini C dikurangi D). Kolom Std Error merupakan standard deviasi dari perbedaan mean. Kolom Sig. memberi informasi mengenai nilai p dari hasil analisis. Sementara kolom 95% Confidence Interval memberikan informasi mengenai Confidence interval untuk perbedaan mean (pembahasan mengenai CI dapat dilihat dalam posting-posting sebelumnya).
Dapat dilihat dalam contoh tersebut bahwa tidak satupun perbandingan pasangan yang memiliki nilai yang signifikan. Ini berarti memang tidak ada perbedaan prestasi siswa antara mereka yang memperoleh metode C, D dan EL.

9. Means Plot
Hasil terakhir yang diberikan SPSS adalah Means Plot atau grafik yang menampilkan posisi mean tiap kelompok dibandingkan mean kelompok lain. Grafik ini memang tidak harus ditampilkan, tetapi akan memberikan gambaran yang lebih jelas pada pembaca mengenai posisi mean tiap kelompok. Bentuk Means Plot dapat dilihat sebagai berikut:
Dalam grafik ini dapat terlihat jelas bahwa kelompok EL memiliki mean prestasi siswa paling kecil dibandingkan dua kelompok lain. Hanya saja, karena hipotesis nol gagal ditolak, ini berarti grafik ini hanya memberikan mean sampel saja bukan estimasi dari mean populasi. Dengan kata lain kita tetap tidak dapat mengatakan bahwa EL memberikan dampak paling kecil terhadap prestasi siswa, karena hipotesis nol gagal ditolak.

Analisis Varians Desain Faktorial (bagian 2)

2009-01-30T14:35:00.010+07:00

Berangkat dari pertanyaan dalam postingan sebelumnya, “Mengapa Main Effects nya tidak signifikan tetapi interaksinya bisa signifikan. Seperti apa interaksi yang terjadi antara kedua variabel independen tersebut?” , postingan ini akan dikhususkan untuk membahas efek interaksi dalam analisis varians desain faktorial.

Dua variabel independen dikatakan berinteraksi jika efek satu variabel independen terhadap variabel dependen berbeda-beda pada level-level variabel independen lainnya. Hmm… sepertinya rumit. Begini: kita gunakan saja contoh di postingan kemarin. Jika ada efek interaksi antara model pembelajaran dengan jenis kelamin terhadap prestasi, maka ‘pengaruh’ model pembelajaran terhadap prestasi akan berbeda pada jenis kelamin yang berbeda. Misalnya jika siswa laki-laki mendapat metode diskusi, hasilnya akan lebih baik daripada jika mereka mendapat metode Experiential Learning (EL). Tapi pada siswa perempuan, kondisinya berbeda. Jika siswa perempuan mendapat metode diskusi, prestasinya akan lebih rendah daripada mereka yang mendapat EL. Jika digambarkan akan seperti ini:
Gambar di atas merupakan gambar dari means plot, plot yang menggambarkan posisi mean dalam tiap kelompok/level. Efek interaksi seperti dalam gambar di atas disebut Disordinal Interaction. Dapat dilihat dalam gambar bahwa arah garis perempuan berbeda dengan arah garis laki-laki. Ini berarti mean prestasi dari siswa laki-laki yang memperoleh Diskusi lebih tinggi daripada yang memperoleh EL, sementara mean prestasi perempuan yang mendapat Diskusi lebih rendah daripada EL.

Efek interaksi tentunya tidak harus seperti ini. Ada kalanya efek interaksi signifikan meskipun tidak terjadi persilangan seperti itu. Misalnya ketika model pembelajaran memberikan efek yang berbeda pada pria sementara pada wanita tidak terjadi perbedaan. Dalam kasus ini tetap memungkinkan adanya interaksi, yang kemudian disebut sebagai Ordinal Interaction. Seperti gambar berikut:
Lalu bagaiman interpretasinya? Jika peneliti ditanya lalu adakah efek dari model pembelajaran terhadap prestasi belajar, bagaimana menjawabnya?

Dengan informasi mengenai interaksi ini, kita dapat mengatakan bahwa model pembelajaran memberikan efek terhadap prestasi siswa, namun demikian efek model pembelajaran akan berbeda pada jenis kelamin yang berbeda. Model diskusi cenderung lebih cocok diterapkan pada siswa laki-laki sementara untuk siswa perempuan akan lebih pas jika diberi model pembelajaran Experiential Learning.

Anda bisa bayangkan seandainya si peneliti hanya menggunakan model pembelajaran dalam penelitiannya? Jika jumlah siswa laki-laki dan perempuan cukup berimbang bisa terjadi hasil penelitiannya menyatakan tidak ada efek model pembelajaran terhadap prestasi bukan? Nah variabel jenis kelamin dalam hal ini dapat dikatakan juga sebagai variabel yang memoderasi, atau variabel moderator. Kehadiran dan ketidakhadirannya bisa mengubah efek dari suatu variabel independen terhadap variabel dependen.

Satu hal yang perlu diingat: keputusan adanya interaksi yang signifikan tidak dapat didasarkan hanya pada means plot. Signifikasi efek interaksi harus diputuskan dengan melihat tabel Anava Desain Faktorial. Jika efek interaksi dalam tabel tersebut memiliki nilai p lebih besar dari taraf signifikasi yang kita tentukan, maka dapat disimpulkan efek interaksi tidak signifikan, meskipun means plot memberikan gambar seperti di atas.

Mengapa demikian?
Grafik pada means plot didasarkan pada mean kelompok, sementara signifikasi berbicara mengenai estimasi efek interaksi di populasi. Jadi mungkin saja, efek interaksi yang kita lihat di kelompok terjadi hanya karena adanya sampling error bukan karena adanya interaksi di populasi. Oleh karena itu, means plot berfungsi untuk memberikan gambaran lebih lanjut mengenai bagaimana interaksi yang terjadi dalam populasi, jika efek interaksi sudah dinyatakan signifikan.

Simple Effects
Mungkin muncul pertanyaan di benak teman-teman,”Jika kita lihat gambar kedua di atas, sepertinya perbedaan mean antara kelompok diskusi dan EL untuk perempuan tidak signifikan. Bagaimana memastikan bahwa perbedaan mean ini signifikan atau tidak?”

Ah, itu pertanyaan yang keren abis!

Inilah saatnya kita bicara tentang Simple Effects (SE). SE ini adalah efek atau pengaruh variabel independen terhadap dependen pada satu level variabel independen lainnya. (Ya ... ya saya paham, beribet ya?). Kita pakai contoh di atas lagi. Pengaruh model pembelajaran terhadap prestasi belajar yang terjadi hanya pada siswa perempuan atau laki-laki saja merupakan contoh simple effects. Simple effects ini dihitung khususnya jika efek interaksi signifikan dan kita ingin melihat lebih dalam efek dalam tiap kelompok.

Nah, sekarang bagaimana menghitungnya?
Pada dasarnya Simple effects itu dihitung seperti jika kita menghitung JK antar dalam analisis varians satu jalur. Hanya saja diberlakukan pada salah satu kelompok saja. Misalnya: kita ingin melihat apakah ada simple effect yang signifikan pada kelompok siswa perempuan. Maka kita seolah-olah menghitung JK antar model pembelajaran pada kelompok siswa perempuan saja.
Yang dimaksud dengan JK a pada perempuan itu adalah JK antar metode pembelajaran yang dihitung dari kelompok perempuan saja. Dalam hal ini, JK tersebut akan sama besarnya dengan besarnya JK antar dengan menggunakan analisis varian jika kita hanya menggunakan siswa perempuan.

Nah, untuk memperoleh MK antar metode pembelajaran pada siswa perempuan, kita tinggal membagi JK ini dengan db sebesar jumlah kelompok – 1. Dalam contoh di atas, karena hanya ada dua kelompok saja, maka besarnya db untuk simple effects pada perempuan adalah 1.

Kemudian besarnya MK antar ini akan dibagi dengan MK dalam yang diperoleh dari analisis varians dua jalur sebelumnya. Hasil bagi ini adalah nilai F yang kemudian dicek signifikasinya. Jika nilai F tersebut memiliki p < 0.05 maka dapat dikatakan nilai F tersebut signifikan, atau ada perbedaan prestasi belajar antara kelompok siswa putri yang memperoleh Experiential Learning dan yang memperoleh diskusi.

Jika jumlah metode pembelajaran dalam penelitian tersebut lebih dari 2 kelompok, maka perlu dilakukan post-hoc test setelah simple effect dinyatakan signifikan.
Well, demikian kiranya pembahasan mengenai efek-efek dalam analisis varians desain faktorial. Berikutnya kita akan lihat bagaimana melakukan simple effect ini di SPSS.

Analisis Varians Desain Faktorial (bagian 1)

2008-11-05T15:14:00.026+07:00

Analisis varians dapat dikembangkan aplikasinya untuk menganalisis data penelitian yang terdiri dari satu variabel dependen kontinum dan lebih dari satu variabel independen kategorik. Nah pengembangan ini yang dinamakan Analisis Varians Desain Faktorial.
“Dari namanya sudah terdengar susah…,” terdengar dari lubuk hati beberapa pembaca,”Mungkinkah kita melakukan analisis varians sederhana sebanyak variabel independen saja?”
Ya…ya mungkin saja. Hanya saja, kita akan memperoleh beberapa manfaat dengan melakukan analisis desain faktorial ini; yaitu analisis interaksi antar variabel independen dan masalah tuntutan besarnya sampel. Analisis interaksi antar variabel independen akan dijelaskan lebih jauh dalam tulisan terkait dengan ini. Terkait dengan manfaat kedua, Analisis varians desain faktorial menuntut jumlah subjek lebih sedikit dibandingkan dengan analisis varians sederhana untuk memperoleh kekuatan analisis yang sama. Atau dengan kata lain, dengan jumlah subjek yang sama, kekuatan analisis anava 2 jalur lebih besar daripada anava satu jalur. Hal ini tidak dibahas di sini secara detil. Bagi yang berminat untuk mendiskusikan ini bisa menghubungi saya langsung atau membaca buku “Statistical Power Analysis” yang ditulis Cohen (1988).

Kembali ke Variasi Variabel Dependen

Masih ingat gambar ini bukan? Ini adalah gambar model dari analisis varians sederhana (atau disebut juga satu jalur). Nah anggaplah kita kemudian menambahkan satu variabel lagi untuk menjelaskan variasi prestasi siswa, misalnya variasi jenis kelamin. Sehingga gambar modelnya sekarang menjadi seperti ini:
Nah dalam gambar di atas, bisa dilihat bahwa variasi prestasi siswa sekarang berusaha dijelaskan oleh variasi model pembelajaran dan variasi jenis kelamin. Selain kedua variabel ini, ada satu bagian lagi yang menjadi akibat dari ‘pertemuan’ dua variabel ini, yaitu interaksi. Kemudian bagian lain dari variasi prestasi siswa yang tidak dijelaskan oleh variasi model pembelajaran, jenis kelamin, maupun interaksi keduanya merupakan error atau residu.

Apa Maksudnya Interaksi?

Kita dapat membayangkan interaksi ini seperti mencampur dua bahan kimia. Contoh klasiknya misalnya kita mencampur Hidrogen (yang mudah terbakar) dan Oksigen (yang juga mudah terbakar). Ketika dicampur, kedua bahan kimia ini menjadi air (H2O) yang justru memadamkan api.
Bagaimana contoh nyatanya?
Begini, misalnya kita memiliki dua jenis model pembelajaran; yaitu: diskusi dan experiential learning (EL). Nah misalnya model pembelajaran yang efektif untuk tiap jenis kelamin itu berbeda. Siswa laki-laki memperoleh manfaat lebih banyak jika mereka mendapat model pembelajaran diskusi, sementara siswa perempuan melalui model EL. Oleh karena itu, ketika siswa laki-laki memperoleh EL, prestasinya tidak meningkat sebanyak siswa perempuan. Sebaliknya ketika siswa perempuan memperoleh diskusi, prestasinya tidak meningkat sebanyak siswa laki-laki. Nah jika ini terjadi, ini berarti ada interaksi antara model pembelajaran dengan jenis kelamin.

Main Effect

Hmm… saya agak bingung nerjemahinnya… Akibat Utama? Hehe… bercanda… kita tetap menggunakan bahasa aslinya saja ya (saya singkat ME), supaya teman2 terbiasa dengan istilah ini jika nanti membaca buku-buku luar tentang statistik.
Main Effect (ME) ini merupakan efek yang ditimbulkan oleh adanya variabel independen. Banyaknya ME ini sama dengan banyaknya variabel independen yang dilibatkan dalam penelitian. ME ini bisa dibilang efek atau ‘pengaruh’ langsung suatu variabel independen terhadap variabel dependen, tanpa memperhitungkan kehadiran variabel independen lain. (kata pengaruh saya beri tanda kutip, karena interpretasi tentang adanya pengaruh hanya dapat dilakukan jika kita melakukan penelitian eksperimental).
ME ini sama seperti ketika kita melakukan analisis varian sederhana (satu jalur). Cara menghitungnya pun persis sama dengan analisis varian sederhana, sehingga hasil perhitungannya juga akan sama saja. Saya buktikan ya:

Kedua tabel di atas berasal dari data yang sama. Tabel pertama, merupakan hasil analisis varians 2 jalur dengan melibatkan model pembelajaran (model) dan jenis kelamin (jenkel), sementara tabel kedua merupakan hasil analisis varians satu jalur dengan model sebagai variabel independennya. Kedua tabel menunjukkan antara hasil hitung yang sama antara Jumlah Kuadrat (Sum of Squares), db (df), dan Mean Kuadrat (Mean Squares) untuk model dalam tabel pertama dan kedua.
“Tapi … nilai F dan p nya berbeda,” mungkin begitu komentar seseorang di sana.
Ya nilai F dan p nya memang berbeda, karena dalam analisis dua jalur, variasi error yang tidak dapat dijelaskan menjadi lebih kecil karena kehadiran variabel lain (dalam contoh kita tadi variabel lain ini adalah jenis kelamin), dan interaksi antar variabel independen. Oleh karena itu dalam analisis varian 2 jalur, kita memiliki kemungkinan lebih besar untuk menolak hipotesis nol. (Ini yang saya sebut di atas “dengan jumlah subjek yang sama, kekuatan analisis anava 2 jalur lebih besar daripada anava satu jalur”). Kita akan bahas ini lebih detil ketika sampai pada masalah variasi error.

Interaction Effect

Kita singkat IE saja ya. Ini adalah efek dari kehadiran kedua variabel independen bersama-sama seperti yang sudah saya ilustrasikan di atas.
Bagaimana menghitungnya?
Perhitungan IE ini diawali dengan perhitungan JK antar sel yang diakibatkan pertemuan dua variabel independen. Konkretnya dapat dilihat dalam gambar berikut:

Kita memiliki 4 sel dalam kasus ini, karena tiap variabel independent terdiri dari 2 kelompok. Banyaknya sel akan sama dengan perkalian jumlah level/kelompok dalam tiap variabel independen. Ok lalu bagaimana menghitung Jumlah Kuadrat antar sel ini?
Menghitung jumlah kuadrat dari sel, sangat mirip dengan menghitung jumlah kuadrat antar di analisis varian satu jalur. Hanya saja, sekarang kita menghitung jumlah kuadrat antar sel di analisis varians dua jalur. Masih ingat kan dengan rumus JK antar di anava 1 jalur? Begini: Nah, jika menghitung JK antar sel, maka rumusnya akan menjadi begini:Atau jika kita bongkar rumus ini akan menjadi seperti ini:

Lagi-lagi jangan kuatir harus menghafal banyak rumus. Cobalah lihat persamaan-persamaannya dengan JK antar. Ketika menghitung JK sel, kita hanya memperlakukan sel seolah-olah sebagai kelompok. (kalau kamu bandingkan, rumus JK sel dan JK antar persis sama. Yang berbeda hanya konteksnya saja).
Setelah kita menghitung JK sel, berikutnya kita baru bisa menghitung JK interaksi dengan rumus berikut:

Mengapa JK interaksi didapat dari mengurangi JK sel dengan JKA dan JKB?
Karena begini pandangannya: Variasi antar sel itu di’pengaruhi’ oleh variasi dari JKA, JKB dan JK interaksi. JK interaksi sendiri agak sulit untuk dihitung secara langsung, sementara JK sel cukup mudah dihitung secara langsung dari data. Oleh karena itu kita menghitung dulu JK sel, lalu mengurangi variasi yang terjadi antar sel ini dengan JKA dan JKB.

JK residu/error

Nah setelah menghitung semua urusan efek-efek tadi, sekarang saat nya kita menghitung JK residu. JK residu atau disebut juga JK dalam, dihitung dari variasi antar individu di dalam sel. Masih ingat menghitung JK dalam di Anava satu jalur? Cara menghitungnya persis sama, hanya berbeda konteks. Rumus di atas merupakan rumus mencari JK dalam untuk anava satu jalur. Jika diterapkan pada anava desain faktorial, maka rumus tersebut diterapkan pada sel, menjadi begini:
Huruf a dan b itu menunjukkan kelompok pada variabel independen pertama (a) dan kedua (b). Jadi jika menggunakan contoh di atas, jika a=1 dan b=1, ini berarti kita menghitung JK dalam kelompok pria yang diberi treatment diskusi. Setelah tiap sel kita hitung JK dalam tiap sel, kemudian kita jumlahkan menjadi JK dalam.
Mean Square/Mean Kuadrat

Perhitungan mean kuadrat (MK) untuk anava 2 jalur sama dengan anava 1 jalur, yaitu JK dibagi df.
Banyaknya MK antar akan sama dengan banyaknya variabel independen. Dalam contoh kita di atas, kita akan memiliki 2 MK antar, satu untuk variabel model pembelajaran dan satu untuk jenis kelamin.
Tapi bagaimana menghitung db nya?
Pada dasarnya sama saja dengan sebelumnya :
Nilai F dan Signifikasi

Seperti anava satu jalur, nilai F didapatkan dari pembagian MK dari efek yang diteliti dengan MK dalam. Dalam contoh kita memiliki tiga efek yang ingin dilihat, yaitu efek dari metode pembelajaran, efek dari jenis kelamin dan efek interaksi metode pembelajaran dengan jenis kelamin. Oleh karena itu kita akan mendapatkan tiga nilai F, satu untuk masing-masing efek.
Nah masing-masing nilai F ini tentunya juga memiliki nilai p yang akan menentukan apakah variabel independen tersebut memiliki efek yang signifikan terhadap variabel dependen. Kita dapat mengetahui besarnya nilai p ini dari tabel F, atau menggunakan program komputer seperti excell dan SPSS.

Contoh Hasil Analisis Menggunakan SPSS

Karena artikel dalam blog ini lebih menekankan pada ide dan konsep, maka saya memutuskan untuk tidak menampilkan contoh hitungan manual. Semua perhitungan manual akan mirip dengan analisis varian satu jalur. Jadi pembaca bisa membaca-baca lagi artikel tersebut. Walaupun demikian saya tetap menganjurkan pembaca untuk mencoba-coba menganalisis secara manual untuk mendapatkan ‘feeling’ dari proses analisisnya, khususnya jika jumlah data yang dianalisis tidak banyak. Dalam arti, kita akan lebih memahami bagaimana kita bisa sampai pada hasil analisis seperti ini atau itu.
Contoh dalam tabel berikut diproduksi dari program analisis SPSS.

Dalam tabel di atas, dapat kita lihat bahwa kedua variabel independen tidak memberikan efek yang signifikan terhadap prestasi siswa. Dengan kata lain tidak ada perbedaan mean antara mereka yang berjenis kelamin pria dan wanita (F(1,16)=1.855, p=0.192), dan antara mereka yang mendapat model diskusi dan EL (F(1,16)=.464, p=.506). Selain kedua Main Effect tersebut, kita bisa melihat bahwa interaksi antara model pembelajaran dan jenis kelamin memiliki efek yang signifikan (F(1,16)=9.391, p=.007).
Lalu artinya apa? Mengapa Main Effects nya tidak signifikan tetapi interaksinya bisa signifikan. Seperti apa interaksi yang terjadi antara kedua variabel independen tersebut?
Untuk menjawabnya pertanyaan tersebut kita akan berjumpa lagi di artikel berikutnya.

Anava Identity : Post Hoc dan Kontras

2008-07-29T02:30:00.001+07:00

Anava ternyata tidak membereskan masalah sampai ke akar-akarnya. Bahkan menyisakan pertanyaan di benak kita...wah wah wah bahasanya... Ya, selesai analisis kita hanya bisa bilang bahwa salah satu dari segala kemungkinan perbandingan antar kelompok memiliki perbedaan yang signifikan.

Jadi kalo misalnya kita punya 3 kelompok: A, B, C, kita akan memiliki kurang lebih 3 perbandingan, yaitu antara A dengan B, A dengan C, dan B dengan C. Jika Analisis varians menghasilkan nilai F yang signifikan, ini berarti salah satu dari ketiga perbandingan itu yang signifikan. Yang mana? hmm... kalo Tora Sudiro akan bilang,"Mene Ketehe?".

Multiple Comparison

Keren bener bahasanya. Ya ini istilah lainnya perbandingan jamak... agak janggal sih jadi kita pake istilah aslinya aja ya, disingkat MC.
Kembali ke masalah si Anava ini, lalu gimana dong?
Mungkin ada yang usul juga gimana kalo kita pake t-test dibandingin satu-satu? (Kenapa nggak dari awal aja sekalian, jadi nggak harus pake anava...ya nggak ya nggak?).

Boleh-boleh... (saya dengar di sana ada yang bilang,"Tapi...." hehe). Menggunakan t-test berkali-kali akan memiliki dampak kurang baik terhadap uji hipotesis. Ilustrasinya begini: Kalau saya punya 3 bola, dua berwarna biru dan satu berwarna merah, lalu saya menutup mata si A, dan memintanya menebak bola apa yang saya lempar ke udara saat ini. Setelah A menebak saya akan memberitahunya bola apa yang saya lempar sebenarnya. Anggaplah saja percobaan pertama gagal ditebak, si A jawab merah padahal saya lempar biru. Nah percobaan kedua masih gagal, si A jawab biru padahal saya lempar merah. Dapat dipastikan percobaan ketiga pasti dapat ditebak dengan benar bukan? Jadi dalam hal ini, tiap kali kita melakukan uji, kita akan meningkatkan kemungkinan untuk mendapatkan t yang signifikan.

Contoh yang lebih konkret: kita ingin menguji apakah perbedaan antara kelompok A dan B signifikan dengan taraf 5%. nah karena ketersediaan dana kita bisa mengambil 100 sampel. kemudian kita tes sampel ini satu demi satu. Bisa dijamin, meskipun sebenarnya tidak ada perbedaan antara A dan B di populasi, tapi karena kita melakukan uji sampe 100 kali, kesempatan kita mendapat sampel yang A dan B nya memiliki perbedaan yang signifikan semakin besar di tiap kali pengujian. Besarnya kemungkinan mendapatkan paling tidak 1 perbedaan yang signifikan dengan taraf 5% sebesar:

1-(1-p)^k

k dalam hal ini adalah banyaknya pengujian yang dilakukan, sementara p adalah taraf signifikasi yang kita gunakan. misalnya kita melakukan 3 kali, jadi k=3, dengan taraf 5%. Ini berarti kemungkinan mendapatkan 1 sampel yang memiliki perbedaan mean yang signifikan tidak lagi 5% tapi :

1-(1-0.05)^3=1-0.8575
=0.142625

Bisa dibilang sekarang taraf signifikasinya nggak lagi 5% melainkan 14.2625%.

Oleh karena itu kita tidak dapat menggunakan pengujian t-test berkali-kali tanpa melakukan penyesuaian terhadap taraf signifikasinya.

Jadi sebenarnya bisa hanya harus disesuaikan?

anda benar! kita bisa menggunakan t-test dengan menyesuaikan taraf signifikasinya. Selain t-test ada beberapa teknik lain yang memperhitungkan taraf signifikasi ini. Kumpulan teknik-teknik ini kemudian dinamai post hoc test. Karena dilakukan setelah dilakukannya Anava. Post hoc test ini tidak hanya terkait dengan membandingkan mean dari dua kelompok, tapi juga membandingkan mean dari beberapa kelompok dengan konfigurasi tertentu.
Maksud saya begini. Anggaplah kita memiliki 3 kelompok, A, B dan C. Kelompok A dan B merupakan kelompok yang diberi treatmen sementara kelompok C adalah kelompok yang tidak diberi treatmen sama sekali. Dalam analisis ini kita bisa melihat apakah ada perbedaan yang diberi treatment dengan yang tidak, jadi seolah menggabung A dan B kemudian dibandingkan dengan C. Analisis ini dinamai Kontras (Contrast). Ini gambaran umumnya, lalu gimana melakukan perbuatan ini?

Analisis Kontras
Hmm…. Ini tidak ada kaitannya dengan masalah kekerasan dan HAM ya. Analisis kontras di sini dimaksudkan sebagai analisis antara dua mean yang di’kontras’kan atau dibandingkan. Analisis Kontras ini seringkali juga disebut sebagai Single df analysis (karena semua analisis kontras memiliki df sebesar 1 untuk pembilangnya). Analisis Kontras ini mencakup banyak teknik analisis. Daripada saya sebutkan, mendingan saya gambarkan saja seperti apa ya cakupan analisis kontras ini (lihat gambar 1.)

Huaduh…. Kok banyak banget? Hmm…. Ya memang banyak. Tapi tidak semua harus dilakukan dalam satu penelitian kok. Penelitian selama ini biasanya melibatkan variabel independen yang kategorik, maka biasanya kita hanya melakukan analisis kontras yang di sebelah kanan diagram. Nah tulisan ini berfokus pada bagian kanan dari diagram ini. Bagian kirinya nanti ya dalam postingan sendiri.

Analisis Kontras Sederhana (Simple Contrast Analysis) dan Perbandingan Pasangan Keseluruhan (Complete Pairwise Comparison).
Kedua teknik ini dijadikan satu karena mirip sekali. Keduanya sama-sama menganalisis perbedaan antara mean dari dua kelompok. Perbedaannya, perbandingan pasangan keseluruhan menganalisis semua perbandingan pasangan mean antar kelompok yang memungkinkan, sementara analisis kontras sederhana hanya membandingkan pasangan mean antar kelompok yang menjadi perhatian peneliti.
Contoh: penelitian membandingkan mean tingkat stress pada mahasiswa antara kelompok A, B, C dan D. Jika kita menggunakan perbandingan pasangan keseluruhan, maka kita akan melakukan sebanyak [k*(k-1)]/2 atau sama dengan 6 perbandingan. Sementara jika melakukan analisis kontras sederhana kita dapat memilih pasangan kelompok yang ingin dilihat saja. Misalnya kita hanya tertarik membandingkan A dengan B, A dengan C, dan A dengan D saja.

Hmm… apakah berbeda analisisnya? Bukankah menganalisis semua kemungkinan pasangan kelompok toh juga akan bisa dilihat perbandingan pasangan tertentu.
Ya tentu saja bisa. Permasalahannya terletak pada power dari analisisnya. Ketika melakukan 6 perbandingan, power dari analisis akan cenderung lebih kecil karena kita melakukan penyesuaian yang lebih ketat terhadap tipe error I. Kita akan menuntut perbedaan antar mean kelompok yang lebih besar dengan melakukan 6 perbandingan daripada jika hanya melakukan 3 perbandingan. Analisis yang dianjurkan (Keppel & Wickens, 2004) untuk kedua situasi itu juga berbeda. Untuk analisis kontras sederhana yang dianjurkan adalah teknik Sidak-Bonferroni atau Dunett’s Test. Sementara untuk perbandingan pasangan keseluruhan dianjurkan menggunakan Tukey’s HSD procedure atau REGW (Ryan-Einot-Gabriel-Welsch). Semua teknik ini ada dalam SPSS jadi kita tidak perlu menghitung secara manual karena untuk beberapa teknik akan sangat repot. Anjuran ini didasarkan pada pertimbangan keakuratan dalam mengestimasi nilai p dan juga usaha meningkatkan power dari analisisnya.

Analisis Kontras Kompleks (Complex contrast analysis)
Hmm…dari namanya sepertinya agak mengerikan…kompleks…. Nggak kok sebenernya dia orang baik…. Lo opo to iki?
Jika Analisis Kontras Sederhana membandingkan mean dari dua kelompok, Analisis Kontras Kompleks membandingkan mean dari lebih dari dua kelompok. Misalnya kita melakukan penelitian dengan tiga kelompok. Dua kelompok treatment dan satu kelompok kontrol. Kemudian kita hendak membandingkan dua kelompok treatmen jadi satu dengan kelompok kontrol. Ini misalnya karena kita tertarik untuk membandingkan apakah pemberian treatment secara umum memang memberikan dampak terhadap skor subjek dibandingkan kelompok kontrol.
Cara melakukan analisis ini mirip sekali dengan analisis kontrast sederhana oleh karena itu teknik mengontrol tipe error I yang dianjurkan juga sama dengan Analisis kontras sederhana yaitu Sidak-Bonferoni.

Analisis Kontras Eksploratori
Analisis ini jika dilihat secara sekilas mirip sekali dengan analisis-analisis sebelumnya. Perbedaannya: pada analisis yang disebutkan sebelumnya, rencana analisis sudah dibuat sebelum penelitian dilakukan. Jadi kita sudah merencanakan perbandingan mana yang akan kita lihat jika nilai F nya signifikan.
Nah pada analisis kontras eksploratori (Keppel & Wickens menyebutnya post hoc test, sementara Howell, menyebutnya posteriori test), kita tidak melakukan rencana apapun sebelumnya. Keputusan untuk melakukan perbandingan pasangan kelompok-kelompok tertentu didasarkan setelah melihat nilai F dan mean-mean kelompok. Kita ‘mencari’ dan kemudian menguji perbedaan mean setelah melihat hasil analisis, jadi kita seolah2 sudah melakukan analisis berulang2. Oleh karena itu, kita perlu melakukan kontrol error tipe I secara lebih ketat lagi (Keppel & Wickens, 2004).
Pengontrolan error tipe I yang dianjurkan oleh Keppel dan Wickens (2004) adalah Scheffe. Karena teknik ini berusaha mengendalikan error tipe I dengan sangat ketat, maka ia kehilangan kekuatan untuk mengidentifikasi perbedaan yang tidak terlalu besar.

OK sementara demikianlah analisis kontras dan perbandingan pasangan. Tentang bagaimana melakukannya di SPSS… kita lihat di postingan berikutnya…OK?
(OKEEEEEE…..)

Korelasi Antara A Dan B Positif Signifikan = Jika A Tinggi Maka B Juga Tinggi?

2008-07-19T16:24:00.010+07:00

Kisah berikut ini kisah nyata yang sudah dimodifikasi karena keterbatasan ingatan saya. Data penelitian yang ditunjukkan di sini berasal dari penelitian sungguhan, dan telah mendapat ijin dari penelitinya. Nama dan identitas disamarkan, kecuali nama saya tentunya…

Saya sempat mendapat pertanyaan yang sangat bagus dari seorang teman mahasiswa. Penelitiannya menggunakan teknik analisis korelasi produk momen pearson. Hasil analisisnya menyatakan adanya korelasi yang positif dan signifikan.
Masalah muncul ketika ia melakukan kategorisasi subjek ketika menggunakan kriteria hipotetik(lihat catatan kaki no 1). Jumlah subjek dengan kategori rendah dan sangat rendah pada variabel A jauh lebih sedikit daripada subjek dengan kategori rendah dan sangat rendah di variabel B. Keadaannya bahkan lebih dramatis; tidak ada subjek yang berada pada kategori rendah dan sangat rendah di variabel A (lihat tabel 1.).

tabel 1.

Hal ini kemudian dipertanyakan oleh dosen-dosen pengujinya. Apakah hasil analisisnya sudah benar? Asumsinya mungkin begini: Korelasi yang positif signifikan berarti jika skor subjek pada variabel A tinggi, maka skor subjek pada variabel B juga tinggi. Dengan berpegang pada asumsi tersebut, maka jika jumlah subjek dengan skor rendah dan sangat rendah pada variabel B itu banyak, seharusnya di variabel A juga banyak subjek masuk kategori rendah dan sangat rendah. Logis bukan? hmm…

Permasalahan ini muncul karena dua asumsi yang keliru bahwa (1) Korelasi yang positif signifikan berarti jika skor subjek pada variabel A tinggi berdasarkan kriteria hipotetik, maka skor subjek pada variabel B juga tinggi pada kriteria hipotetik; dan (2) korelasi signifikan itu berarti hubungan linear sempurna.

Pertama: Interpretasi korelasi bukan seperti yang dituliskan di atas, melainkan semakin tinggi skor subjek pada variabel A, maka skor pada variabel B juga semakin tinggi. Apa bedanya? Artinya skor subjek tidak selalu harus tinggi, tapi jika skor si Budi di variabel A itu lebih tinggi daripada Wati, maka skor Budi di variabel B juga cenderung lebih tinggi daripada Wati. Pernyataan ini tidak berbicara mengenai posisi skor Budi berdasarkan kriteria hipotetik sama sekali. Korelasi berbicara mengenai konsistensi posisi seseorang dalam kelompok relatif terhadap mean empirik(lihat catatan kaki 2) pada variabel A dan variabel B.

Jika posisi subjek konsisten (cenderung tinggi pada variabel A dan juga variabel B relatif terhadap mean empirik) maka korelasi akan tinggi dan positif. Jika konsisten terbalik (cenderung tinggi pada variabel A tapi rendah pada variabel B atau sebaliknya, relatif terhadap mean empirik) maka korelasi akan tinggi dan negatif. Jika tidak konsisten korelasinya akan mendekati nol.

Sebagai bukti penjelasan saya ini saya sajikan dua grafik. Dalam grafik pertama, garis-garis tipis didasarkan pada kategorisasi hipotetik, sementara dalam grafik kedua, garis-garis tipis didasarkan pada kategorisasi empirik.

grafik 1. Kategori Hipotetik

grafik 2. Kategori Empirik

Dalam kedua grafik ini dapat dilihat bahwa ketika menggunakan kategori hipotetik, data penelitian terlihat seolah-olah tersebar tidak merata di tiap kategori khususnya ditinjau dari variabel A. Data mengumpul dalam dua kategori paling kanan. Sementara jika menggunakan kategori empirik, data penelitian terlihat cukup merata dalam tiap kategori ditinjau dari variabel A. Situasi ini dapat dibuktikan juga dengan membandingkan tabel 1 di atas yang menggunakan kriteria hipotetik dengan tabel 2 yang menggunakan kriteria empirik berikut ini:

tabel 2.

Dari sini dapat disimpulkan tidak ada yang salah dengan hasil analisisnya. Masalah muncul ketika interpretasi korelasi diterapkan pada kategorisasi hipotetik, sementara korelasi sendiri dihitung berdasarkan mean empirik.

Hmm… tapi bahkan ketika menggunakan kategori berdasarkan mean empirik sebaran antara kedua variabel tetap tidak sama. Coba lihat pada bagian sedang dan rendah. Pada Variabel B prosentase subjek dalam kategori Sedang 26.2% sementara pada Variabel A mencapai 40.47%. Situasi ini berbalik di kategori rendah, prosentase subjek dengan kategori rendah di Variabel B ada 40.47% sementara di Variabel A 26.19%. Mengapa demikian?

Kedua. Jawabannya terdapat pada kesalahan asumsi kedua: korelasi signifikan itu berarti hubungan linear sempurna. Kesan yang kita tangkap ketika membaca pernyataan “korelasi signifikan” itu seolah-olah sama dengan mengharapkan adanya hubungan linear yang sempurna atau paling tidak sangat tinggi. Kita akan mengharapkan pola sebaran subjek dalam tiap kategori (dalam kategori empirik) akan sama untuk variabel A dan B. Tentu saja tidak demikian. Konsistensi pola sebaran antara variabel A dan B tidak ada kaitannya dengan signifikasi, tetapi dengan nilai korelasi yang didapatkan. Dalam penelitian ini meskipun nilai korelasi yang didapatkan itu signifikan, tetapi nilai korelasinya sendiri hanya 0.34, jadi dapat dibilang tidak terlalu kuat. Lebih jauh lagi, ini berarti kita tidak dapat berharap banyak akan menjumpai pola sebaran yang sangat konsisten antara variabel A dan B. Pola sebaran seperti dalam tabel 2, menurut saya, memang pola yang dapat diharapkan dari angka korelasi sebesar 0.34.

Catatan Kaki
1 Kategori hipotetik yang dimaksud dalam tulisan ini adalah kategori yang dibuat berdasarkan mean hipotetik dan SD hipotetik. Pembuatan kategori hipotetik ini dapat dilihat dalam buku Penyusunan Skala Psikologi yang ditulis oleh Saiffuddin Azwar.
2 Mean empirik mengacu pada mean dari data sampel. Istilah ini digunakan untuk membedakannya dari mean hipotetik yang berasal dari nilai tengah skala di tiap item dikali jumlah item. Sumber bacaan mengenai mean empirik dan mean hipotetik/teoretik dapat dilihat dalam buku Penyusunan Skala Psikologi yang ditulis oleh Saiffuddin Azwar.

Asumsi Linearitas

2008-05-09T10:10:00.000+07:00

Atas permintaan beberapa teman, saya akhirnya memutuskan untuk menulis dulu mengenai topik ini sebelum melanjutkan topik mengenai Analisis Varian. Apa itu asumsi linearitas? Bagaimana mengetahui apakah asumsi ini terpenuhi atau tidak? Dan mungkin beberapa pertanyaan lain yang akan saya coba jawab dalam posting ini… omong-omong kok saya jadi serius gini ya? Hmm…

Apa itu Asumsi Linearitas?
Ada beberapa teknik statistik yang didasarkan pada asumsi linearitas, lengkapnya linearitas hubungan. Teknik statistik yang dimaksud adalah teknik yang terkait dengan korelasi, khususnya korelasi product momen, termasuk di dalamnya teknik regresi. Jadi tentunya tidak semua teknik statistik didasarkan pada asumsi ini.
Jadi apa itu asumsi linearitas hubungan? Kurang lebih asumsi ini menyatakan bahwa hubungan antar variabel yang hendak dianalisis itu mengikuti garis lurus. Jadi peningkatan atau penurunan kuantitas di satu variabel, akan diikuti secara linear oleh peningkatan atau penurunan kuantitas di variabel lainnya. Gambarannya kurang lebih begini:

Memangnya ada yang nggak mengikuti garis lurus? Ya banyak sekali model hubungan yang nggak mengikuti garis lurus. Misalnya seperti di gambar ini:
Dalam gambar ini, hubungan antar variabelnya bersifat kurvilinear, khususnya hubungan kuadratik. Masih banyak pola hubungan yang lain selain ini, seperti eksponensial, logistik, dll.

Mengapa harus Linear?
Korelasi produk momen dan turunannya, mengasumsikan hubungan antar variabelnya bersifat linear. Jika ternyata pola hubungannya tidak linear, maka teknik korelasi produk momen akan cenderung melakukan underestimasi kekuatan hubungan antara dua variabel. Jadi sangat mungkin sebenarnya kedua variabel memiliki hubungan yang kuat tetapi diestimasi oleh produk momen sebagai tidak ada hubungan atau memiliki hubungan yang lemah, hanya karena pola hubungannya tidak linear.

Bagaimana Mengecek Asumsi Linearitas ini?
Ada beberapa cara untuk mengecek asumsi linearitas ini dalam program SPSS:
1. Menggunakan test for linearity dalam SPSS
Cara ini termasuk cara yang sangat lazim dilakukan selama ini ketika berurusan dengan pengecekan asumsi linearitas. Saya sendiri tidak terlalu yakin dengan cara ini, hanya saja sampai hari ini saya tidak memiliki bukti untuk menolak penggunaan cara ini.
Kita akan memulai dengan mengklik Analyze->Compare Means->Means, lalu muncullah sebuah dialog box berikut ini.

Pilihlah variabel dependen dari daftar variabel di sebelah kiri, lalu pindahkan ke kolom Dependent Variable, begitu juga variabel independen dipindah ke kolom Independent Variable.
Kemudian klik Option, lalu muncul lagi satu dialog box seperti ini:

Kita klik kotak di sebelah kiri Test for linearity, untuk memilihnya. Kita dapat membersihkan kotak Cell Statistics jika tidak ingin ada hasil output lain karena memang tidak dibutuhkan. Klik Continue, dan kita kembali ke dialog box sebelumnya, lalu klik OK.
Output analisis yang akan kita baca hanya bagian seperti gambar di bawah ini:
Nah pada bagian ini dapat kita lihat tabel yang sangat mirip dengan Anova, karena memang sebenarnya ini analisis varians. Pada bagian paling atas kita dapat melihat baris Between (Subject). Ini sebenarnya sama dengan JK Antar dalam analisis varians sederhana seperti yang pernah saya bahas di Anava Identity. Dalam analisis ini, JK Antar dipartisi lagi menjadi dua bagian. Yaitu bagian yang mengikuti garis linier, dan bagian yang tidak mengikuti garis linier.
Bagian yang mengikuti garis linier itu yang diwakili oleh baris Linearity sementara bagian yang tidak mengikuti garis linier diwakili oleh baris Deviation from Linearity. Bagian ini sebenarnya merupakan ‘sisa’ dari bagian dari JK Antar setelah dikurangi bagian yang mengikuti garis linear. Mungkin dapat digambarkan seperti ini:

Bagian yang berwarna biru merupakan bagian dari variasi variabel dependen yang mengikuti variasi variabel independen, diberi lambang A. Ini adalah bagian yang sering diwakili oleh JK Antar. Bagian yang tidak berwarna, diberi lambang e, merupakan bagian dari variabel dependen yang tidak mengikuti variabel independen. Nah ternyata oh ternyata… bagian berwarna ini, JK Antar, masih dapat dipartisi lagi menjadi dua bagian yaitu yang mengikuti garis linear, diwakili oleh baris linearity, dan yang tidak mengikuti garis linear, diwakili oleh deviation from linearity.

Nah lalu bagaimana memutuskan apakah asumsi linearitas ini terpenuhi atau tidak?

Ada beberapa pendapat yang beredar saat ini. Pendapat pertama menyatakan keputusan diambil dengan melihat baris linearity, karena baris ini dianggap merupakan bagian JK Antar yang mengikuti trend linear. Jika F untuk baris linearity ini signifikan, kita bisa bilang bahwa bagian dari JK Antar yang mengikuti garis linear cukup besar, sehingga dapat disimpulkan trend antara variabel independen dan dependen itu linear. Atau dapat juga dikatakan bahwa garis linear dapat memberikan penjelasan yang baik mengenai hubungan antara kedua variabel, dengan kata lain fit.

Ada juga pendapat yang mengatakan keputusan diambil dengan melihat baris deviation from linearity. Deviation from linearity merupakan bagian dari A yang tidak mengikuti garis linear. Jika baris ini tidak signifikan, maka dapat dikatakan bahwa hubungan antar variabel dependen dan independen linear. Pemikirannya kurang lebih begini, sangat mungkin hubungan antar variabel itu fit dengan garis linear, tapi tidak seluruh variasi dari hubungan antar variabel ini dapat dijelaskan dengan garis linear ini. Ada sebagian lain yang mengikuti pola hubungan yang tidak linear. Dalam hal ini, jika deviation from linearity signifikan, ini menunjukkan bahwa sebagian lain variasi hubungan antar variabel ini tidak mengikuti garis linear. Jadi disamping model linear kita perlu juga melihat model non-linear. Nah, jika deviation from linearity ini tidak signifikan, ini berarti variasi hubungan antar variabel hampir sepenuhnya mengikuti pola hubungan linear.

Jadi gimana nih?
Kalo menurut saya begini: patokan pertama yang bisa dipakai adalah linearity, karena baris ini menggambarkan apakah model linear dapat menjelaskan dengan baik hubungan antar variabel. Jika linearity signifikan, maka itu berarti hubungan antar variabel dapat dijelaskan menggunakan model linear, dalam hal ini korelasi produk momen atau regresi linear. Deviation from linearity merupakan informasi tambahan mengenai pola hubungan yang tidak dapat dijelaskan oleh garis linear. Jika ternyata baris ini signifikan. Ini berarti, hanya memberikan penjelasan linear mengenai hubungan antar variabel akan memberikan informasi yang kurang lengkap mengenai hubungan antar variabel. Sehingga perlu kiranya menguji juga model hubungan antar variabel dengan model non-linear pada data yang sama. Ini dilakukan untuk melihat manakah model yang terbaik menjelaskan pola hubungan ini.

Masalah
Saya pribadi kurang merasa ‘sreg’ dengan pendekatan ini, apalagi jika digunakan sebagai satu-satunya sumber informasi untuk mengecek asumsi linearitas data.
Keberatan saya yang pertama, sebenarnya analisis ini merupakan analisis trend, jadi bukan analisis yang memang dirancang untuk melihat linearitas hubungan antara dua variabel dengan data kontinum. Apa bedanya? Analisis trend sebenarnya menganalisis mean dari beberapa kelompok dari sampel penelitian. Kelompok-kelompok ini dibentuk menurut kuantitas dari variabel independent. Misalnya variabel independennya obat A, maka kelompok pertama misalnya diberi obat A sebanyak 10 gram, kelompok berikutnya 20 gram, dan seterusnya. Yang ingin dilihat apakah pemberian obat dengan kuantitas tertentu ini akan memiliki efek yang linier terhadap variabel dependen, misalnya kecepatan sembuh. Terkait dengan ini akan ada dua masalah yaitu:

a. Jika tiap nilai variabel independen hanya memiliki satu nilai unik untuk variabel dependennya (misalnya setiap subjek yang memiliki skor IQ 100 memiliki nilai raport 10), analisis trend di SPSS ini tidak akan dapat dijalankan, karena SPSS tidak dapat menghitung varians errornya.

b. Jika range dari variabel independent sangat besar, misalnya 100 point, maka derajat kebebasan (df) untuk baris deviation from linearity akan cenderung besar. Ini mengakibatkan Rerata Kuadratnya (MS deviation from linearity) akan cenderung kecil, sehingga nilai F nya akan cenderung kecil juga. Hal ini mengakibatkan makin besar kemungkinan untuk mendapatkan F yang tidak signifikan terlepas dari apakah kondisi datanya linear atau tidak.

Kedua, terkait dengan ketergantungan teknik ini terhadap jumlah subjek. Semakin besar subjek, makin kecil Rerata Kuadrat untuk error (MS error), yang mengakibatkan makin besar kemungkinan untuk menolak hipotesis nol. Dalam baris linearity ini berarti makin besar kecenderungan untuk mengatakan hubungan antar variabel itu linear padahal tidak demikian. Dalam baris deviation from linearity ini berarti makin besar kecenderungan untuk mengatakan hubungan antar variabel dapat dijelaskan dengan model non linear.

Alasan ketiga terkait dengan ‘sense of data’…cieileh…keren betul bahasanya. Maksud saya begini, mengenali dan melihat data itu penting bagi peneliti. Peneliti perlu mendapat ‘sense’ atas datanya sendiri. Nah, mengandalkan uji asumsi saja hanya akan membatasi pandangan kita mengenai data kita sendiri. Kita perlu melihatnya secara langsung baik dalam arti memandangi datanya (ini serius nggak guyon…) atau membuat grafik yang bisa menggambarkan data kita. Nah terkait dengan ini kita masuk ke pendekatan kedua.

2. Menggunakan Grafik Scatter Plot antar Variabel
Saya menganggap penting sekali mengecek data secara visual. Ini dapat dilakukan dengan melihat datanya secara langsung atau melihatnya dalam bentuk grafik. Ada cukup banyak informasi yang bisa kita peroleh dengan melihat data dengan grafik dibandingkan hanya melihat hasil output berupa tabel.

Scatter plot termasuk grafik yang menurut saya cukup berguna untuk mengecek linearitas hubungan antar variabel. Beberapa manfaat yang dapat diperoleh antara lain, dapat melihat secara langsung bentuk hubungan antar variabel. Seandainya hubungan antar variabel tidak linear, dengan scatter plot kita dapat memperkirakan seperti apa bentuk hubungannya; kuadratik, kubik, logaritmik, atau yang lain. Manfaat lainnya adalah dapat mengecek outlier dalam data kita, keberadaannya dan pada variabel mana data tersebut menjadi outlier.

Lalu bagaimana melakukannya dengan SPSS?
Kita dapat menggunakan menu Graph->Interactive->Scatterplot, yang akan memunculkan dialog box seperti ini:

Dalam dialog box tersebut kita bisa memasukkan variabel independen dalam kotak pada garis horizontal dan variabel dependen dalam kotak pada garis vertikal. Kemudian klik OK, yang akan memunculkan grafik seperti berikut:
Nah dari grafik ini bisa dilihat bahwa hubungan kedua variabel dapat dikatakan linear. Jika kita menarik garis lurus seperti di atas, kita dapat melihat titik-titik tersebut memiliki jarak yang relatif dekat dengan garis. Dalam grafik ini juga dapat dilihat beberapa outlier sekaligus kemungkinan heterogenitas varians.

Masalah utama terkait dengan grafik adalah subjektivitas penilaian seperti apa grafik yang dapat dikatakan linear dan seperti apa yang dikatakan non linear. Dalam gambar di atas, kita dapat melihat dengan cukup jelas bahwa hubungan keduanya linear, tetapi dalam grafik lain sangat mungkin ada perbedaan pendapat mengenai linearitas hubungan antara dua variabel. Oleh karena itu meminta penilaian orang lain mengenai bentuk hubungan dalam hal ini cukup penting.

Saat ini saya sedang menggali kemungkinan-kemungkinan lain untuk menguji linearitas hubungan ini. Saya belum menemukan sampai saya menyelesaikan tulisan ini. Jika suatu hari nanti saya memperolehnya tentu saja akan saya upload artikel baru di blog ini. Salam!

Anava Identity : Analisis Varians Sederhana / Satu Jalur (Part II)

2008-03-28T02:48:00.032+07:00

Aaah setelah bertapa cukup lama bisa juga akhirnya saya menulis bagian ini. Sebelumnya saya minta maaf pada beberapa teman yang mengharapkan bagian ini segera, karena tidak dapat memenuhi harapan anda semua.
Pada bagian sebelumnya saya sudah membahas mengenai keseluruhan variasi dan satu bagian dari variasi variabel dependen. Nah, bagian berikutnya adalah variasi dari variabel dependen yang tidak mengikuti variasi variabel independennya, sering disebut sebagai variasi error atau variasi residu.
Variasi Error
Beberapa ahli membedakan istilah residu dan error ini. Tapi untuk sementara saya akan menggunakan istilah error saja ya. Variasi error itu adalah bagian yang tidak berwarna dalam gambar di bawah ini (e).

Bagian ini adalah bagian yang tidak mengikuti variasi dari variabel independen. Jika kita melakukan eksperimen, maka bagian ini adalah bagian yang tidak dipengaruhi atau bukan merupakan hasil treatmen dalam eksperimen.Terkadang variasi ini berupa variasi akibat perbedaan individual. Variasi ini akan terlihat dalam tabel data kita, seperti ini:
Bisa kita lihat bahwa meskipun kelompok A1 itu cenderung memiliki nilai yang rendah, tetapi di dalam kelompok A1 tetap ada variasi skornya. Tidak semua menjadi 1 atau 2 atau 3. Jika seluruh variasi variabel dependen mengikuti variasi variabel independen, maka di tiap kelompok hanya akan ada satu nilai untuk semua subjek. Jadi dalam A1 semua subjek akan bernilai 3 misalnya, di A2 akan bernilai 4 semua, dst.Tentu saja ini merupakan peristiwa sangat langka dalam kehidupan sehari-hari. Jadi hampir selalu akan ada variasi dalam tiap kelompok.Oh ya, karena variasi ini terjadi di dalam kelompok, seringkali juga variasi ini disebut sebagai variasi dalam di beberapa buku.

Lalu gimana ngitungnya?
Kita masih bisa menerapkan rumus yang telah diberikan sebelumnya. Hanya saja karena kita menghitung variasi dari tiga kelompok, maka sekarang kita akan menjumlahkan variasi ketiga kelompok ini. Rumus untuk mencari JK di dalam tiap kelompok akan seperti ini:

Nah jika JK dalam dari tiap kelompok ini dijumlahkan akan menjadi seperti ini:

Lagi-lagi bukan maksud saya untuk meminta kamu menghafalkan semua ini. Ini hanya untuk membuktikan bahwa menghitung JK dalam tiap kelompok lalu dijumlahkan itu akan sama dengan menggunakan rumus dalam buku seperti pada persamaan yang terakhir.

Penerapan dalam contoh akan seperti ini:

Nah cobalah menggunakan rumus alternatifnya.

Salah satu keuntungan JK ini adalah sifatnya yang aditif, sehingga kita bisa menjumlahkan JK dalam dan JK antar yang besarnya akan sama dengan JK total. Ini juga merupakan salah satu cara cepat mengecek apakah hitungan kita sudah benar. Benarkah hitungan saya?

Yak betul!. Kemungkinan besar hitungan saya sudah benar. (Cobalah cek lagi. Sebelum ini hitungan saya sempat salah lo. Adakah yang mengetahuinya?).

Apa yang Kita Lakukan Selanjutnya?

Baiklah, sekarang kita sudah punya JK Total, JK Antar, dan JK dalam. Permasalahan dengan JK adalah bahwa semakin besar jumlah subjek yang digunakan untuk menghitung JK, makin besar JKnya. Sehingga meskipun situasinya sama, tapi jumlah N nya berubah, maka JK akan cenderung berubah. Oleh karena itu kita perlu men-standardkan JK ini.

Caranya? Dengan membagi tiap JK dengan derajat kebebasannya. Hmmm rasanya pernah dengar ya. Lagi-lagi derajat kebebasan memiliki rumus umum yang dapat diterapkan di tiap situasi:

Maksudnya komponen di sini adalah komponen yang terlibat dalam perhitungan JK. Jadi misalnya dalam perhitungan JK total, komponen di sini adalah jumlah subjek secara keseluruhan. Estimasi maksudnya berapa banyak statistik yang diestimasi dalam tiap perhitungan. Dalam perhitungan JKtotal kita hanya mengestimasi satu mean populasi, sehingga estimasinya 1. Baiklah rumus lengkapnya begini:

Dalam db Antar, kita menghitung JK dari total tiap kelompok. Oleh karena itu komponen pembentuknya ada sejumlah kelompok, dan kita mengestimasi GrandMean dalam populasi, sehingga hanya ada satu estimasi. Ketika menghitung db dalam, kita menggunakan subjek dalam tiap kelompok sebagai komponennya, dan di tiap kelompok kita mengestimasi satu mean populasi. Oleh karena itu kita mengalikan n-1 dengan banyaknya kelompok. Kemudian dapat dirumuskan juga dengan jumlah keseluruhan subjek dikurangi banyaknya kelompok.

Nah jika kita terapkan dalam contoh akan menjadi seperti ini:
Langkah berikutnya kita membagi JK dengan db yang terkait. JK Total dibagi db Total, JK Antar dibagi db Antar, JK dalam dibagi db dalam. Hanya saja biasanya, dalam tabel anava, hasil bagi JK Total dengan db Total tidak dicantumkan. Lalu hasil baginya berupa apa? Atau apa namanya? Hasil bagi ini dinamai Mean Kuadrat (Mean Square).

Mean Kuadarat? Mana meannya? Kalau diamati sebenarnya jika kita hilangkan semua (-1), kita seolah-olah sedang mencari rerata bukan? begini ilustrasinya:

Bukankah begitu? Oleh karena itu nama dari hasil bagi itu adalah mean dari kuadrat jarak X dari reratanya, yang sering disingkat mean kuadrat. Lalu mengapa dibagi N-1? Ini sangat terkait dengan masalah estimasi. Rerata yang sebenarnya hendak kita gunakan di rumus adalah rerata populasi. Tapi karena kita nggak tahu rerata populasinya, kita mengestimasi rerata populasi ini dengan menggunakan rerata sampel. Karena hanya berupa estimasi maka kita akan selalu kehilangan satu derajat kebebasan. Demikian asal-usulnya.

Kalau kamu amati lagi, sebenarnya Mean Kuadrat ini juga bicara tentang hal lain. Coba amati rumusnya, bukankah familiar? Hmm… yak ok jadi sama dengan suatu rumus ya….. Aha! Rumusnya jadi sama dengan rumus varians! Yup! You’ve got it.Ya, bisa dibilang MK itu setara dengan Varians, menceritakan hal yang sama dengan varians. Jadi kita sekarang kita kembali ke Varians setelah sebelumnya (posting sebelumnya) kita meninggalkannya sementara.

Sekarang mari kita terapkan …(mariii….):

Demikianlah kita temukan MK untuk tiap sumber variasi. Lalu apa berikutnya?

Uji F

Masih ingat gambar berikut ini bukan?

Sebagian dari variasi prestasi siswa itu mengikuti variasi dari model pembelajaran (A), dan sebagian lagi tidak mengikuti model pembelajaran (e). Kalau kita ingin tahu apakah variasi prestasi siswa yang mengikuti model pembelajaran itu besar atau kecil,maka kita perlu membandingkan variasi prestasi yang mengikuti model pembelajaran ini dengan sesuatu. Apakah itu? (kok jadi main tebak-tebakan gini ya?).

Saya mendengar nun jauh di sana menjawab,”dengan variasi error!”, Yak Benar!

Sekarang kita akan membandingkan variasi yang mengikuti model pembelajaran (A), atau bisa dibilang juga sebagai variasi yang di’akibat’kan adanya model pembelajaran yang berbeda, dengan variasi yang tidak mengikuti model pembelajaran (e). Atau bisa disebut juga variasi yang diakibatkan bukan oleh model pembelajaran.

Nah ternyata, jika kita membagi A dengan e kita dapat membandingkannya dengan suatu distribusi khusus dalam statistik yaitu distribusi F. F ini dari nama ‘penemu’nya yaitu Sir Ronald Aymer Fisher. (kenapa nggak distribusi R atau A? ada yang tahu?). Hasil baginya juga diberi simbol F. Jadi :

Nilai F ini kemudian dapat dibandingkan dengan F kritis dalam tabel F atau dihitung dengan computer untuk menemukan p-value nya. Ini seperti yang kita lakukan setelah memperoleh nilai t dari t-test. Sekarang mari kita terapkan lagi dalam contoh:

Dengan F sebesar ini, hampir bisa dipastikan jika p-valuenya pasti lebih kecil dari 0.05. Tapi untuk memastikan kita cek saja. Kamu bisa juga lo menggunakan MS Excel untuk mencari p-value ini. Ketikkan saja perintah berikut ini:

Jika kamu benar mengetiknya maka akan dihasilkan p sebesar 0.002595. Mari kita bandingkan dengan hasil dari SPSS:

Aha! Tepat sama! Wow Keren Banget! Yeah! (jujur saja saya juga nggak nyangka lo angkanya bisa tepat sama seperti ini).

Nah gimana kalo kita ingin melihat tabel F? (hmm….masih ingin lihat tabel F setelah melihat kecanggihan teknologi seperti ini?)

Untuk melihat nilai kritis dalam tabel F kita memerlukan dua nilai db yaitu db Antar dan db dalam untuk mencari nilai kritis dari F.

Nah tugasmu sekarang mencari berapa nilai kritis F untuk tiap taraf signifikasi?

Lalu Apa?

Ketika membandingkan nilai p yang kita dapat dengan taraf signifikasi, kita bisa mengambil kesimpulan mengenai situasi mean di antara kelompok-kelompok. Jika signifikan kita bisa mengambil kesimpulan bahwa perbedaan mean di populasi yang diwakili sampel kita tidak sama dengan nol.

Apakah ini berarti kita dapat mengambil kesimpulan bahwa A1 berbeda dari A2? Atau A2 berbeda dari A3? Atau dapatkah disimpulkan bahwa ketiga kelompok itu saling berbeda meannya?

Jawabnya : TIDAK! (duh galak betul…).

“But why?” (orang sok keminggris nih…).

Because…. Duh ketularan deh. Ini dikarenakan kita menggunakan varians mean antar kelompok bukan menggunakan perbandingan pasangan-pasangan mean. Varians mean antar kelompok akan menjadi cukup besar (untuk menghasilkan F yang signifikan) cukup dengan adanya satu saja pasangan kelompok yang memiliki perbedaan mean yang signifikan. Ilustrasinya begini, misalnya ada mean ketiga kelompok berturut-turut adalah 15, 15, dan 30. Kondisi ini akan membuat varians antar mean tidak sama dengan nol.

Hal ini yang membuat Anova disebut juga sebagai analisis yang bersifat global atau omnibus. Hipotesis nol yang diuji adalah mean kelompok 1 = mean kelompok 2 = mean kelompok 3. Nah ketika hipotesis ini ditolak maka kesimpulannya ada paling tidak satu diantara 3 pasangan kelompok ini yang meannya berbeda. Tapi berapa banyak dan kelompok mana yang berbeda tidak dapat dideteksi oleh Anava. Oleh karena itu dibutuhkan analisis lanjutan untuk melakukannya. Ini disebut juga analisis post hoc atau post hoc test. Post hoc test ini akan dibahas dalam posting tersendiri.

Demikianlah kisah Anava Sederhana ini. Dalam posting berikut-berikutnya saya akan membahas juga mengenai post hoc, anova desain faktorial dan anova untuk amatan ulang (repeated measure).

Pertanyaan Keempat Seputar Uji Asumsi

2008-01-18T03:29:00.000+07:00

Setelah beberapa saat saya menerima pertanyaan keempat dari Bu Susan. Begini pertanyaannya:

satu lagi pertanyaan, Pak... mengapa di buku Hair dkk. itu untuk
residunya menggunakan studentdized residual ya bukan
unstandardized residual?...

Jawab:
Ya ada beberapa macam residual yang dapat diperoleh ketika kita melakukan analisis regresi. Yang pernah saya tuliskan di posting mengenai normalitas dalam regresi adalah unstandardized residual.
Selain studentized, masih ada standardized residual, deleted standardized residual, dan deleted studentized.

Standardized residual.
Standardized residual, seperti namanya, adalah residual yang distandardkan. Maksudnya seperti mencari nilai Z dari residual. Keuntungan menggunakan standardized residual ini adalah tidak terpengaruh terhadap unit ukur, karena semua distandardkan. Jadi pengukuran menggunakan dua skala yang berbeda unit ukurnya (misalnya yang satu skor maksimalnya 10 yang lain skor maksimalnya 100) akan muncul dalam unit yang sama yaitu SD.

Studentized Residual
Kelemahan dari Standardized Residual adalah asumsi bahwa varians untuk semua residu adalah sama. Kenyataannya, semakin jauh sebuah skor dari prediksinya, ia cenderung memiliki variasi yang makin besar. Oleh karena itu diperbaiki dengan menerapkan rumus tertentu (sering disebut leverage atau h) untuk memperbaiki situasi ini. Dengan menggunakan rumus ini, makin jauh residu dari meannya (yang menggambarkan makin jauh individu menyimpang dari prediksinya), makin besar varians residunya. Nah ketika digambarkan dalam grafik, maka studentized residual ini akan mengikuti distribusi t (ini makanya dikasih nama studentized, dari student t distribution).

Deleted Standardized dan Deleted Studentized
Kedua ukuran residu ini sebenarnya memiliki pemikiran yang sama dengan ukuran residu tanpa deleted. Hanya saja, kelemahan Standardized atau Studentized Residual adalah 'turut campur'nya observasi yang didiagnostik dalam perhitungan Standardized atau Studentized Residual. Sehingga jika observasi itu memiliki residu yang besar, ia juga akan memperkecil standardized dan studentized residual. Hal ini tentunya akan membuat kedua ukuran itu menjadi kurang sensitif mendeteksi adanya outlier atau influential observation (untuk sementara sebut saja keduanya observasi yang cari gara-gara atau observasi bermasalah sampai kita membahas mengenai regresi sampai tuntas ...tas...tas...tas...). Mengapa begitu? Pertama, residu yang besar akan memperbesar standard error yang digunakan untuk membagi besarnya residu karena memperbesar mean. Jika standard error membesar, ini berarti hasil bagi antara residu dengan standard error residu akan mengecil. Jadi, residu yang besar akan terlihat tidak terlalu besar dengan ukuran ini.
Oleh karena itu, ketika menghitung standard error residunya, observasi yang akan dianalisis tidak disertakan dalam perhitungan. Ini akan membuat ukuran ini lebih peka terhadap observasi yang bermasalah ini. Inilah makanya disebut sebagai deleted studentized atau deleted standardized.

Dari beberapa ukuran itu, menurut saya, Deleted Studentized Residual merupakan ukuran yang paling sensitif terhadap observasi bermasalah. Jadi jika menghendaki analisis yang peka, memang sebaiknya menggunakan Deleted Studentized. Nah seberapa peka itu terserah pemakainya.
Kelemahan semua ukuran residu ini adalah kita tidak memiliki ukuran pembanding 'kekuatan' observasi bermasalah ini dalam mempengaruhi hasil analisis regresi. Oleh karena itu seringkali peneliti melihat ukuran lain seperti Leverage atau Cook's D, atau bahkan DFBeta dalam melakukan diagnostik. Ukuran residu ini digunakan sebagai 'screening' awal untuk melihat observasi bermasalah yang berpotensi mempengaruhi hasil penelitian, dengan cara memplotkan ukuran residu ini dalam scatter plot, kemudian dilihat mana observasi yang menyimpang sangat jauh dari rekan-rekannya. Kemudian dilakukan diagnostik mendalam menggunakan Leverage atau Cook's D.

terkait dengan uji normalitas menurut saya (lagi-lagi pendapat tidak didasarkan pada kajian atau analisis mendalam dari penelitian. Jadi lagi-lagi ini bisa diangkat jadi penelitian untuk mengkaji adakah perbedaan hasil analisis normalitas untuk keempat ukuran tersebut. Ada yang berminat? Mahasiswa lagi skripsi? Dosen yang lagi getol penelitian?), keempat ukuran itu tidak akan memberikan hasil yang jauh berbeda terkait dengan uji normalitas. Tentu saja jika mencari yang terbaik kita bisa menggunakan Deleted Studentized Residual.

OK demikian jawaban saya Bu Susan. Semoga bisa memberi tambahan ide seputar uji normalitas ini.

Tiga Pertanyaan Mengenai Asumsi Normalitas

2008-01-09T03:57:00.000+07:00

Demikan tiga pertanyaan mengenai asumsi normalitas (pertanyaan ini diberikan dalam posting mengenai Uji Asumsi dalam Regresi):

1. Pak Agung yang baik saya masih bingung mengenai pernyataan ini: central limit theorem disebutkan juga bahwa bagaimanapun bentuk distribusi data di populasinya, semakin besar sampel semakin normal distribusi mean sampelnya (Keppel & Wickens, 2004; Howell, 1984). Dan distribusi terlihat ‘cukup’ normal ketika sampel berisi sekitar 30 orang. Mungkin ini juga alasan mengapa kita sering mendengar ‘minimal sampel’ sebesar 30 orang. Pembahasan mengenai besar sampel akan dilakukan tersendiri.
Sebab ketika saya membaca Bukunya Leech, Barrret, & Morgan (2005) yang berjudul SPSS for intermediate statistics pada hal 28 disebutkan begini:

SPSS recommends that you divide the skewness by its standard error. If the result is less than 2.5 (which is approximately the p = .01 level), then the skewness is not significantly different from normal. A problem from this method, aside from having to use a calculator, is that the standard error depends on the sample size, so with large samples most variable would be found to be nonnormal.

apa yang dimaksud dengan so with large samples most variable would be found to be nonnormal? bgaimana kaitan pernyataan ini dengan central limit theorem?

2. Yang kedua, pada regresi, jika yang dihitung adalah normalitas residu, bagaimana jika asumsi normalitas tidak terpenuhi? bagaimana cara transformasinya, apakah caranya sama dengan transformasi biasa?

3. Terus yang ketiga bagaimana dengan pernyataan bahwa regresi bivariat digunakan untuk memprediksi skor satu variable tergantung yang normal atau berupa skala dari satu variabel bebas yang normal atau skala (Leech, Barret, & Morgan, 2005, hal 198). Apakah dari pernyataan tersebut dapat diinterpretasikan bahwa kita perlu menguji normalitas kedua variabel (bebas dan tergantung)? lalu apakah masih perlu diuji normalitas residunya?

Terima kasih banyak Pak... salam

Tjipto Susana

Saya akan berusaha menjawab pertanyaan ini sebaik mungkin. Semoga bisa menjawab dengan baik.

Pertanyaan Pertama. Jawaban ini dilakukan sebelum saya membaca buku yang diacu Bu Susan, semoga tidak meleset jawaban saya. Menurut saya yang dimaksud normalitas dalam central limit theorem itu berbeda dengan yang dimaksud di SPSS dalam skewness dibagi standard error skewness. Yang saya bahas dalam central limit theorem itu adalah normalitas dari distribusi mean sampel dalam populasi, sementara yang dimaksud dalam skewness adalah distribusi skor subjek dalam populasi.

Dalam central limit theorem disebutkan bahwa semakin besar n (besar sampel) maka distribusi mean sampel akan makin mendekati normal tanpa mempedulikan distribusi skor subjeknya. Jadi meskipun, anggap saja distribusi skor subjek di populasi itu nggak normal, tapi jika kita mengambil jumlah subjek yang mencukupi, maka dapat diasumsikan bahwa bentuk distribusi dari mean sampelnya normal.

Nah, yang diungkapkan Leech, Barrret, & Morgan (2005), itu merupakan 'kelemahan' dari uji signifikasi pada umumnya. Makin besar sampel, maka makin kecil standard error (mungkin bisa dibaca juga di posting mengenai signifikan tak selalu berarti besar), ini mengakibatkan makin besar kemungkinan kita memperoleh statistik yang besar (hasil bagi antara skewness dan standard error dari skewness), yang kemudian mengakibatkan makin besar kemungkinan kita menolak hipotesis nol dan menyatakan distribusi data di populasi tidak normal. Dalam hal ini kita cenderung melakukan tipe error I. Nah, di sini terjadi tarik ulur antara memilih menganggap distribusi data di populasi normal padahal tidak (tipe error II), atau memilih menganggap distribusi data di populasi tidak normal padahal normal (tipe errorI).
Saya pribadi akan memilih melakukan tipe error II lebih besar, dengan alasan central limit theorem tadi dan juga robustness dari statistik t dan F. Selain itu juga sangat disarankan untuk melihat bentuk data di sampelnya dengan menggunakan grafik seperti q-q plot atau stem and leaf plot sebelum mengambil keputusan mengenai uji normalitas ini (bisa juga dibaca di posting saya mengenai uji asumsi dalam SPSS). Ini kebiasaan baik yang tidak kita miliki saat ini. Mungkin bisa dimulai sejak posting ini diupload? (semoga... nyanyi lagu Katon deh).

Pertanyaan Kedua. Mengenai normalitas residu, jika tidak normal maka transformasi tetap dilakukan seperti biasa pada skor independen variabel. Hanya saja perlu berhati-hati karena mencari transformasi yang tepat untuk mengatasi ketidaknormalan data sepertinya cukup sulit . Saya sendiri belum banyak belajar mengenai transformasi ini, hanya pernah mendengar komentar seseorang seperti ini,"It can be forever". Saran saya, pertama perlu dilihat apakah ketidaknormalannya dapat dinilai parah. Jika iya, maka perlu dilakukan diagnostik dulu untuk mencari skor subjek atau observasi yang jadi biang keladinya. Jika semua baik-baik saja, baru kita cari transformasi yang pas.

Pertanyaaan Ketiga.Nah untuk pertanyaan satu ini saya agak ragu menjawabnya, karena kurang yakin dengan pemahaman saya sendiri mengenai Regresi bivariat. Setahu saya regresi biasanya selalu univariat. Nah regresi dengan model bivariat itu mungkin adalah model korelasi product moment. Dalam hal ini, tidak ada prediktor dan kriterion. Biasanya keduanya disebut sebagai response variable. Dalam model ini, kedua variabel berupa random variable, atau variabel yang datanya tidak ditentukan terlebih dulu oleh peneliti, melainkan berasal dari data di lapangan. Oke itu pemahaman saya mengenai Regresi bivariat.
Nah, terkait apakah kedua variabel ini harus memiliki sebaran data yang normal begini: Normalitas residu terkait sangat erat dengan pengujian hipotesis dalam Regresi. Misalnya kita ingin menguji apakah F yang dihasilkan itu signifikan. Jika Regresi dilakukan hanya untuk melihat koefisien korelasinya (atau koefisien regresinya), maka uji normalitas residu tidak perlu dilakukan.
Lalu misalnya kita hendak melakukan uji hipotesis terkait dengan F-nya? maka menurut saya yang diuji normalitas tetap residunya. Hanya saja kita melakukan uji normalitas residu dua kali.Anggaplah kita memiliki dua variabel X dan Y. Uji normalitas residu pertama dilakukan ketika X menjadi 'prediktor' dan Y menjadi 'kriterion' (ingat bahwa sebenarnya dalam model ini tidak ada yang namanya prediktor atau kriterion). Uji yang normalitas residu kedua dilakukan ketika Y yang menjadi 'prediktor' dan X yang menjadi 'kriterion'.

Demikian jawaban saya terhadap tiga pertanyaan ini. Semoga cukup jelas dan menjawab dengan memuaskan.
Jika belum, please feel free to deliver more questions.

Anava Identity : Varians (Part 1)

2008-01-08T08:36:00.001+07:00

Saya pernah bertanya iseng di kelas Statistik,”Anava itu singkatan Analisis Varians berarti yang dianalisis kan varians nya. Tapi kok digunakan untuk menguji beda mean?” Pertanyaan itu jadi kuis dengan hadiah coklat. Sayang sekali coklatnya tidak jadi dibagi karena nggak ada yang jawab.

Menjawab pertanyaan ini sebenarnya sama saja dengan menjelaskan apa itu Analisis Varians. Dan semua berawal dari Varians itu sendiri, lebih tepatnya Varians dari Variabel Dependen.

Pada Awalnya: Variasi Variabel Dependen

Penelitian biasanya melibatkan satu atau lebih variabel. Variabel didefinisikan sebagai atribut yang dapat bervariasi. Namanya juga Vary-able, dapat bervariasi. Misalnya tinggi badan, ada yang tinggi ada yang pendek. Tinggi badan adalah variabel karena ia bervariasi. Variasi di sini dapat berarti variasi antara orang satu dengan yang lain, bisa juga antara orang yang sama dalam waktu yang berbeda. Variasi juga bisa terjadi antara kelompok satu dengan yang lain.

Nah mengapa variasi ini bisa terjadi? Mengapa tinggi badan orang-orang bisa bervariasi? Orang yang sama pada waktu yang berbeda juga memiliki variasi tinggi badan. Ketika kita masih usia 5 tahun, mungkin tinggi badan kita nggak lebih dari 1 meter. Sekarang kita mungkin punya tinggi badan yang lebih dari 1,5 meter.

Beberapa pertanyaan mengenai variasi ini menjadi pertanyaan yang cukup penting untuk dijelaskan sehingga menjadi kajian ilmu tertentu. Misalnya mengapa prestasi siswa bisa bervariasi? Adakah suatu penjelasan mengenai variasi ini? Kemudian psikologi pendidikan atau ilmu kependidikan berusaha mencari penjelasan mengenai variasi prestasi ini.

Kemudian misalnya, ada yang mengajukan teori bahwa prestasi siswa itu bervariasi karena jam belajar yang bervariasi. Siswa dengan jam belajar yang banyak biasanya prestasinya baik juga. Atau dengan kata lain orang ini menyatakan bahwa variasi prestasi itu mengikuti variasi jam belajar, bahkan jika ia cukup berani akan mengatakan variasi prestasi itu diakibatkan variasi jam belajar. Sementara yang lain berkata variasi prestasi itu mengikuti variasi model pembelajarannya. Dalam kelompok yang mengikuti model pembelajaran A, prestasi siswanya cenderung lebih tinggi daripada kelompok yang mengikuti model B. Orang yang lain lagi akan berkata variasi prestasi akan mengikuti variasi dari variabel lain lagi.

Jika digambarkan maka paragraf di atas akan tampak seperti ini:

Gambar 1.

Dalam gambar ini, tiap lingkaran mewakili variasi tiap variabel. Perpotongan antara dua lingkaran (yang berwarna-warni) merupakan variasi dari satu variabel yang mengikuti variabel lain. Perpotongan antara dua lingkaran ada yang besar dan kecil. Ini menggambarkan juga bahwa variasi prestasi siswa yang mengikuti variasi variabel ada yang besar dan kecil.

Selain perpotongan antara dua lingkaran, ada juga perpotongan tiga lingkaran (lihat bagian berwarna merah). Bagian ini merupakan perpotongan antara variasi prestasi siswa, jam belajar dan model pembelajaran. Apa maksudnya. Ini berarti ada sebagian variasi prestasi siswa yang mengikuti interaksi variabel model pembelajaran dan jam belajar. Untuk sementara diingat dulu saja ya. Saya akan jelaskan panjang lebar nanti ketika kita membahas desain faktorial.

Nah bagian dari variasi prestasi siswa yang tidak diwarnai merupakan variasi prestasi siswa yang tidak dapat dijelaskan oleh ketiga variabel. Bisa jadi variasi ini bisa dijelaskan variabel lain yang belum disebutkan, atau (beberapa ahli percaya) merupakan efek dari error yang bersifat random, tak ada variabel yang mampu menjelaskannya.

Lalu?

Jika variasi prestasi siswa yang mengikuti variasi variabel lain itu besar, bisa dibilang variabel ini cukup berperan dalam menjelaskan variasi prestasi siswa, dalam gambar misalnya variasi model pembelajaran. Jadi jika ada dua orang siswa yang berbeda prestasinya, kita bisa bilang bahwa mereka berdua memiliki kemungkinan besar mengikuti model pembelajaran yang berbeda. Anggaplah jika model A lebih baik, maka kemungkinan besar siswa yang memiliki prestasi lebih baik berasal dari kelompok yang mengikuti model A.

Nah jika kita memiliki cara untuk memilah variasi-variasi itu dari data kita, kita akan dapat menentukan mana variabel yang penting untuk menjelaskan variasi prestasi siswa. Hmmm… lalu gimana cara?

Varians sebagai ukuran Variasi

Sebelum melangkah lebih jauh… sepertinya memang kita tidak bisa melangkah lebih jauh sebelum membahas tema ini.Pertanyaan yang muncul berikutnya, gimana kita bisa tahu besarnya variasi kelompok? Apakah kita lihat satu-satu data kita? (saya bisa mendengar nada cemas nih). Nggak lah. Ada kok ukuran untuk menggambarkan variasi ini : Varians (sayang nggak ada musiknya, ini bisa diiringi musik misterius nih).

Sepertinya pernah denger atau baca? Iya di posting-posting terdahulu saya cukup banyak bicara ini. Karena kita akan banyak bicara analisis varians, maka varians ini yang akan jadi tema sentral.

“Maaf, Kang, Varians teh apa ya?” (Ini yang nanya dari jawa barat, blog ini dibaca sampe medan lo. Terima kasih untuk Pak Azuar di medan)

Varians itu sebenarnya rata-rata dari kuadrat jarak skor subjek dari mean kelompoknya. Agak susah bayanginnya ya? Bayangkan kita main lempar ladam (sepatu kuda). Peraturannya kita melempar ladam ini ke sebuah tonggak kayu yang jaraknya 5 meter dari tempat kita berdiri. Nah setelah semua peserta melempar, kita ukur jarak tiap ladam dari tonggak. Ada yang dekat, ada yang jauh seperti dalam gambar berikut.

Gambar 2.

Hasil pengukuran jarak tiap ladam dari tonggak ini kemudian dikuadratkan lalu dijumlahkan. Setelah itu kita membaginya dengan banyaknya ladam yang dilempar. Hasil baginya berupa rata-rata kuadrat dari jarak ladam dengan tonggaknya. Kalau dirumuskan bisa seperti ini:

Nah analogi ini kita terapkan pada varians menjadi:

Bagaimana menghitung jarak skor individu dari mean? Skor individu pada satu variabel akan digambarkan dalam satu garis lurus.

Gambar 3.

Jika begini keadaannya, bagaimana mengukur jarak skor individu dari mean? Aha! Kita tinggal mengurangi jarak skor individu dari nol dengan jarak mean dari nol. Jadi seperti ini:

Nah mari kita terapkan pada rumus tadi, sehingga menjadi begini:
Aaah sepertinya sering melihat rumus seperti ini di buku statistik bukan? Jika nanti bertemu dengan rumus ini lagi atau kata Varians, bayangkan gambar ladam tadi. Varians adalah rata-rata dari kuadrat jarak skor individu dari mean kelompoknya.

“Wah sorry, man. Tapi why, man ? (baca: kenapa harus dikuadratkan?)” (yang nanya anak gaul)

Gini coy…ups ketularan gaul. Kalo kita menghitung jarak skor dari mean kelompoknya, maka akan ada yang bernilai positif ada yang bernilai negatif. Nah kalo kita jumlahkan begitu saja, hasil penjumlahannya akan sama dengan nol. Jadi kesannya janggal, semua titik itu punya jarak dari meannya tapi kok jumlahnya nol? Kalo jaraknya nol harusnya kan jarak semua titik itu dari mean ya nol, atau tidak berjarak (tumpuk undhung). Tentu saja ini terjadi karena ada nilai positif dan negatif. Ada titik yang skornya berada di sebelah kiri ada yang di sebelah kanan dari mean. Untuk mengatasi ini ada dua cara, yaitu menghilangkan semua tanda dengan membuat nilainya absolut, atau dengan mengkuadratkannya.

Dengan beberapa alasan (untuk saat ini percaya dulu sama saya ya. Saya akan bahas mengenai alasan ini suatu hari nanti), para ahli memilih menggunakan cara mengkuadratkannya.

“Tapi Lo bakalan dapet ukuran dalam unit kuadrat, dong” (wah orang jakarte yang nanya).

Iye …duh ketularan lagi. Iya, varians memang ukuran variasi skor subjek dalam unit kuadrat. Jika kita menginginkan ukuran variasi skor subjek dalam unit satuan, kita tinggal menghitung akar dari variansnya. Nah ukuran ini yang kemudian disebut sebagai standard deviasi. (Saya bisa mendengar suara O panjang sekali). Begini rumusnya

Varians dalam Sampel

Yang saya sajikan di atas adalah menghitung varians dari populasi. Bagaimana jika kita ingin menghitung varians dari sampel. Apakah sama saja? Pada dasarnya sama. Hanya saja begini, jika varians yang kita hitung di sampel ingin dijadikan estimasi varians populasi, kita perlu sedikit mengubah rumusnya.

Masih ingat mengenai derajat kebebasan? Saya membahas hal ini dalam posting mengenai t-test. Tiap kali kita mengestimasi satu parameter, kita akan kehilangan satu derajat kebebasan. Di sini karena kita mengestimasi varians populasi dari varians sampel, kita kehilangan satu derajat kebebasan. Oleh karena itu sekarang kita tidak membagi jumlah kuadrat jarak skor dari mean dengan N tetapi dengan n-1. Rumusnya menjadi begini:

Nah varians yang dirumuskan seperti ini yang merupakan ukuran dari variasi skor subjek dalam suatu sampel tertentu.Standard deviasinya? Hmm tinggal mencari akar kuadratnya saja tentunya.

Mempartisi Varians dan Jumlah Kuadrat

Waduh apa pula ini? Seperti mempartisi harddisk saja?

Ya, yang bisa dipartisi ternyata nggak cuma harddisk aja. Mempartisi varians sebenarnya memiliki arti yang sama dengan berusaha menemukan besarnya perpotongan dua lingkaran dalam gambar 1. Kita berusaha memilah berapa besar variasi dari variabel dependen yang mengikuti variasi variabel lain. Misalnya berapa besar variasi variabel prestasi siswa yang mengikuti variasi model pembelajaran.

“Kepriben carane?”(yang nanya orang tegal).

Baiklah, sebelum membahas caranya, kita perkenalkan dulu satu ukuran variasi yang lain, yaitu Jumlah Kuadrat (Sum of Square), lengkapnya Jumlah dari Deviasi Kuadrat (Sum of Squared Deviation). Sebenarnya kita sudah bertemu dengan tamu kita ini, hanya saja tersembunyi dalam rumus Varians. Seperti namanya Jumlah dari Kuadrat Deviasi… Yak! Benar sekali! Jumlah Kuadrat ini adalah numerator (pembilang) dari rumus varians:

Ini adalah rumus umumnya, yang tentunya bisa diaplikasikan pada setiap situasi. Dengan mengaplikasikan satu rumus ini dalam setiap situasi, kita nggak perlu mengingat rumus yang sangat banyak yang ada di buku-buku. Cukup satu rumus ini untuk segala situasi. Hmm… tidak percaya? Akan saya buktikan.

Nah melalui JK (atau SS) inilah kita akan mempartisi variasi dari variabel dependen. Mengapa? (ini yang nanya saya sendiri). Karena SS memiliki sifat aditif yang tidak dimiliki oleh varians. Maksudnya dapat dijumlahkan dan dapat dikurangi satu sama lain di antara bagian-bagiannya. Jelasnya begini, kita lihat gambar berikut:

Gambar 2.

Lingkaran Variasi Model Pembelajaran digambar dengan garis putus-putus karena tidak menjadi fokus perhatian saat ini. Kita akan banyak memperhatikan Lingkaran Variasi Prestasi Siswa.

Keseluruhan lingkaran Variasi Prestasi Siswa ini merupakan variasi dari semua siswa yang diukur prestasinya, sering juga disebut sebagai Variasi Total. Jika kita menghitung JK-nya maka kita akan mendapatkan JK total (sounds familiar?). Nah keseluruhan variasi ini dipartisi dalam bagian yang mengikuti variasi variabel model pembelajaran (bagian berwarna biru) diberi lambang A, dan bagian yang tidak mengikuti variasi variabel model pembelajaran (yang tidak berwarna) diberi lambang e. Sehingga keseluruhan variasi prestasi siswa merupakan penjumlahan dari A dan e, dapat dirumuskan sebagai berikut:

Lalu bagaimana rumus tiap JK ini?

Rumusnya persis seperti yang telah saya berikan tapi diaplikasikan dalam situasi yang berbeda.

Jumlah Kuadrat Total

Nah namanya saja jumlah kuadrat total, berarti ini menggambarkan keseluruhan variasi sampel dalam penelitian tanpa memperhatikan asal sampel (dari model pembelajaran A atau B). Oleh karena itu kita perlu terlebih dulu mencari mean yang mencakup semua subjek disebut juga Grand Mean (GM). Kita tinggal menjumlahkan semua skor semua subjek dan membaginya dengan banyaknya subjek.

Jangan terbebani dengan rumus ya. Ini sebenarnya rumus mencari mean biasa, hanya saja diberlakukan pada seluruh subjek penelitian tanpa melihat kelompoknya.

Kemudian kita menerapkan rumus JK secara umum untuk mencari Jumlah Kuadrat Total:

Beberapa buku memberikan rumusan yang berbeda-beda untuk Jumlah Kuadrat Total ini. Salah satunya antara lain:

Keduanya akan memberikan hasil yang persis sama, karena rumus kedua merupakan penyederhanaan rumus pertama.

Baiklah sebagai ilustrasi saya sajikan contoh saja ya:

Tabel 1

Berapa JK Total dari data ini?

Jadi JK Total dari data di atas adalah 46.4. Cobalah kamu cari dengan menggunakan rumus kedua, lalu bandingkan apakah hasilnya sama.

Jumlah Kuadrat dari Bagian Variasi Variabel Dependen yang Mengikuti Variabel Independen.

Wah namanya panjan banget ya. Kita akan menggunakan nama lainnya saja agar lebih ringkas yaitu JK Antar Kelompok. Penjelasan mengenai asal usul nama ini akan diberikan di akhir posting. Jadi untuk sementara kita ingat dulu saja bahwa JK Antar ini adalah JK dari Bagian Variasi Variabel Dependen yang Mengikuti Variabel Independen.

Ilustrasi di gambar 1 maupun 2 merupakan salah satu cara penjelasan mengenai JK Antar ini. Di sini saya akan menyajikan konsep yang sama dari cara penjelasan yang berbeda. Kita lihat lagi Tabel 1. A1, A2, A3 merupakan variasi dari variabel independen, misalnya saja proses pembelajaran. Nah variasi variabel dependen yang mengikuti variasi variabel independen dapat dilihat dari perbandingan antar kolom A1, A2, A3. Misalnya kita lihat di kolom A1,skor di dalam kolom ini cenderung kecil berkisar antara 2 sampai 5. Sementara kolom A2 berisi skor dari 4 hingga 7 dan kolom A3 berisi skor antara 5 sampai 8. Kita bisa melihat bahwa kolom yang berbeda memiliki kecenderungan skor variabel dependen yang berbeda. Ini yang dimaksud dengan variasi variabel dependen yang mengikuti variasi variabel independen. Secara grafis bisa dilihat dalam gambar 3 berikut:

Gambar 3.

Dalam gambar tersebut, dapat kita lihat kecenderungan A1 berada di bawah sementara A2 berada di tengah dan A3 berada di paling atas. Jadi ketika kita melihat kelompok yang berbeda, sebaran skor variabel dependennya juga berbeda dari sebaran pada kelompok yang lain.

Nah apa yang bisa kita anggap mewakili kecenderungan tiap kelompok ini? Mean. Ya kita bisa melihat mean untuk mewakili kecenderungan kelompok. Jadi jika kita ingin melihat variasi dari variabel dependen yang mengikuti variabel independen, kita akan melihat variasi dari mean kelompok. Dengan kata lain kita akan mencari JK dari mean antar kelompok.

Bagaimana caranya?

Kita akan menerapkan rumus JK secara umum yang diaplikasikan untuk mean kelompok. Kurang lebih begini:

Mean dari mean akan sama dengan Grand Mean yang kita cari tadi.

Dengan demikian, rumus dari JK mean akan menjadi seperti ini:

Atau dapat juga diekspresikan dengan:

Kita coba terapkan dulu di contoh kasus kita. Sebelumnya kita mencoba menghitung mean dari tiap kelompok seperti ini:

Kemudian kita menerapkan rumus tadi menjadi begini:

Nah ada sedikit masalah dengan JK mean ini, yaitu kita cenderung untuk memperoleh JK Mean yang kecil. Ini diakibatkan kita menghitung variasi ini berdasarkan mean dari skor subjek. Variasi dari mean skor subjek tentunya akan lebih kecil daripada variasi skor subjek. Untuk mengatasi hal ini, kita akan mengalikan JK Mean ini dengan banyaknya subjek di tiap kelompok. Hasil perkalian ini yang kemudian dianggap secara tepat mewakili variasi variabel dependen yang mengikuti variasi variabel independen.

Saya akan menunjukkan juga alasan lain mengapa kita perlu mengalikan JK mean ini dengan banyaknya subjek dalam tiap sampel di posting lain.

Tapi apakah ini sama dengan rumus yang ada di buku-buku? Saya yakin sama. Kita buktikan ya(jika dirasa terlalu kecil klik saja pada pembuktian, maka akan muncul image yang lebih besar):

Nah rumus terakhir ini yang sering kita lihat di buku-buku bukan? Aha! Ternyata tidak serumit yang dibayangkan bukan? Kita tidak perlu menghafal pembuktian ini tentunya. Pembuktian ini hanya dilakukan untuk menunjukkan bahwa rumus yang saya tawarkan dan rumus yang di buku sama. Keuntungan rumus dari buku ini, kita bisa berurusan degan sampel dengan n yang berbeda, sementara menggunakan rumus yang saya tawarkan memang sederhana tapi akan kesulitan jika harus berurusan dengan kelompok dengan n yang berbeda.

Sekarang cobalah menghitung JK Antar dengan menggunakan rumus kedua ini lalu bandingkan hasilnya.

(to be continued…)

t-test (truly) Final Encounter: Asumsi Homogenitas

2008-01-02T00:57:00.001+07:00

Posting ini secara khusus membahas mengenai uji homogenitas karena saya anggap cukup penting. Selain itu, asumsi ini dapat dicek dengan menggunakan teknik statistik tertentu seperti asumsi normalitas. Berbeda dengan asumsi lain yang (sementara) hanya dapat dicek melalui cek prosedur penelitian. Posting ini akan membahas dua hal yaitu ide mengenai cara mengecek homogenitas dan bagaimana melakukannya di SPSS.

Uji asumsi homogenitas = uji beda varians

Ide dasar uji asumsi homogenitas sebenarnya merupakan uji perbedaan antara dua kelompok juga. Hanya saja yang dibedakan sekarang bukan mean kelompok melainkan varians kelompok. Pemikirannya begini yang dapat berbeda di antara dua kelompok itu sangat banyak. Semua karakteristik populasi dapat bervariasi antara satu populasi dengan yang lain. Dua di antaranya adalah mean dan varians (selain itu masih ada bentuk distribusi, median, modus, range, dll).

Penelitian yang ada selama ini baru menggunakan mean sebagai tolak ukur perbedaan antara dua populasi. Para peneliti belum ada (setahu saya) yang melakukan pengujian atau membuat hipotesis terkait dengan kondisi varians di antara dua kelompok. Padahal ini memungkinkan dan bisa menjadi kajian yang menarik. Misalnya saja sangat memungkinkan suatu treatmen tidak hanya mengakibatkan perbedaan mean, tapi juga perbedaan varian. Jadi misalnya, metode pengajaran tertentu itu cocok untuk anak-anak dengan kesiapan belajar yang tinggi tapi akan menghambat mereka yang kesiapan belajarnya rendah. Ketika diberikan pada kelas yang mencakup kedua golongan ini, maka siswa yang memiliki kesiapan belajar tinggi akan terbantu sehingga skornya akan tinggi, sementara yang kesiapan belajarnya rendah akan terhambat, sehingga skornya rendah. Nah karena yang satu mengalami peningkatan skor sementara yang lain penurunan, ini berarti variasi dalam kelompok itu makin lebar. Sehingga variansnya akan membesar.

Semoga ini bisa jadi ide penelitian baru ya. (Ayo yang mau skripsi… atau dosen yang lagi ngejer CCP hehe, proyeksi diri sendiri…)

Nah lalu gimana ngukurnya?

Ada sangat banyak cara mengukur beda varians ini. Kabarnya ada 56 formula yang berbeda untuk mengukur beda varian ini (nah lo). Tapi ada tiga yang paling sering disebut. Mereka adalah …(drum roll please):

(1). Pendekatan Hartley. Yaitu membagi varians terbesar dibagi varians terkecil. Ini akan menghasilkan nilai F max. Formula ini dianggap paling sederhana tapi juga bermasalah. Oleh karena itu sering hanya dijadikan patokan kasar. Masalahnya? Sangat peka terhadap ketidaknormalan data. Sehingga estimasi p nya akan melenceng jauh dari tabel F max jika data yang kita miliki nggak normal.

(2). Pendekatan kedua dan ketiga sebenarnya memiliki ide dasar yang sama. Keduanya berbeda hanya pada acuan yang dipakai saja. Idenya begini: Pertama kita menghitung terlebih dulu deviasi skor tiap subjek dari tendensi sentral kelompok nya. Nah jika varians antara dua kelompok sama, maka mean dari deviasi skor subjek ini (dengan mengabaikan nilai negatif) tidak akan jauh berbeda antara satu kelompok dengan yang lain. Untuk mengeceknya, kita bisa melakukan analisis varians pada data deviasi skor subjek dari tendensi sentralnya. Dari ide ini ada dua formula yang dibuat. Pertama adalah Levene’s test (yang diprogramkan oleh SPSS) dan pendekatan Brown-Forsythe. Pendekatan Levene menggunakan mean sebagai ukuran tendensi sentralnya oleh karena itu lebih peka terhadap ketidaknormalan data. Sementara Brown-Forsythe menggunakan median, sehingga lebih robust terhadap ketidaknormalan data. (Tapi kita lebih sering menggunakan Levene karena itu yang tersedia di SPSS).

Contoh Kasus

Anggaplah kita ingin menguji apakah data berikut ini melanggar asumsi homogenitas varians.Ini memang contoh tidak riil karena data yang digunakan sangat sedikit. Ini dilakukan demi kemudahan tampilan saja. Nah, dalam contoh kasus ini saya hanya akan menunjukkan cara menguji perbedaan varians dengan menggunakan SPSS, oleh karena itu hanya menggunakan pendekatan Levene’s test (kalau memang banyak yang berminat melihat cara pendekatan brown-forsythe akan saya tampilkan juga. Tapi tergantung demand…cieileh…).

Pendekatan Levene biasanya akan langsung disajikan oleh SPSS ketika kita melakukan t-test untuk sampel yang independen. Begini caranya:

(1). Bentuk data di atas tentunya harus diubah dulu menjadi seperti di bawah ini agar bisa dianalisis menggunakan SPSS:(2)kemudian kita klik Analyze-Compare means-Independent sample T Test

(3).Setelah klik maka akan tampil dialog box seperti ini:

(4). Kemudian variabel dependen dimasukkan dalam kotak Test Variable(s) dan independen masuk ke kotak Grouping Variable. Ketika variabel independen dimasukkan ke Grouping Variable, SPSS akan meminta identifikasi kelompok. Ini dapat dilakukan dengan mengklik Define Groups. Sehingga muncul dialog seperti ini:

Kita masukkan 1 ke kotak Group 1 dan 2 ke kotak Group 2 (ini tergantung bagaimana data yang ada di kolom A. Jika data berupa 0 dan 1 maka yang dimasukkan ke sini ya 0 dan 1 bukan 1 dan 2). Setelah itu klik Continue

(5).Kemudian klik OK sehingga output ditampilkan.

(6).Karena pembahasan hanya seputar uji beda varians maka yang ditampilkan di sini hanya Levene’s test saja seperti berikut:

Dari tampilan ini bisa kita lihat nilai F yang didapatkan adalah 6.584 dengan p=0.033. Ini berarti bahwa kita dapat menyimpulkan adanya perbedaan varians antara kedua populasi. Atau dalam kerangka asumsi homogenitas varians, asumsi ini telah dilanggar, sehingga kita perlu melakukan beberapa langkah seperti yang telah dijelaskan dalam posting sebelumnya mengenai asumsi t-test.

OK sepertinya pembahasan mengenai t-test sudah tuntas.Kita akan masuk dalam pembahasan yang lebih seru lagi mengenai Anava di postingan berikutnya. Sudah ada yang punya ide cerita?

t-test (almost) Final Encounter : Asumsi-Asumsi t-test

2007-12-31T08:23:00.002+07:00

Seperti yang sudah saya janjikan sebelumnya, saya akan membahas juga asumsi-asumsi dalam t-test. Saya merasa perlu membahas ini tersendiri mengingat cukup banyak kekeliruan yang beredar di sekitar kita mengenai uji asumsi. Saya sendiri tidak berani berkata bahwa pemikiran saya yang saya sajikan di sini paling benar, tapi ini adalah pemahaman saya sampai hari ini, hasil dari baca buku, gosip sana-sini, dengerin kuliah, mimpi, iseng-iseng, dan sebagainya.

Mitos Uji Asumsi

Ada beberapa pemahaman yang menurut saya (saya menekankan sekali ‘menurut saya’ ini karena mungkin menurut yang lain sudah tepat) kurang tepat yang beredar selama ini.

1. Asumsi-asumsi ini adalah asumsi semua teknik statistik parametrik. Yang benar adalah, asumsi-asumsi ini adalah asumsi dari teknik statistik tertentu. Jadi ketika kita membahas t-test, maka asumsi-asumsi ini adalah asumsi dari t-test. Kebetulan saja beberapa asumsi sama antara satu teknik dengan teknik yang lain. (Ini juga merupakan pemahaman saya dulu yang ternyata keliru). Atau beberapa asumsi dari teknik yang berbeda itu sama karena didasarkan pada model yang sama (kita akan membahas ini nanti ketika membahas anava, anareg, dan anakova).

2. Pelanggaran terhadap asumsi yang manapun dapat dipecahkan dengan menggunakan statistik non parametrik. Menurut saya penggunaan statistik non parametrik (distribution free statistics) hanya dapat mengatasi pelanggaran asumsi normalitas saja bukan asumsi yang lainnya. Pelanggaran terhadap asumsi lain (seperti homogenitas varians) hanya dapat diatasi dengan pendekatan yang berbeda dari statistik non parametrik.Pendekatan ini akan dibahas jika nanti kita bertemu dengan tema terkait.

3. Asumsi dari suatu test tidak perlu diuji pemenuhannya oleh data kita. Saya sendiri kurang yakin dengan alasan di balik pendapat ini. Tapi dari yang saya ketahui, pelanggaran asumsi dapat berakibat fatal terhadap kesimpulan yang kita ambil. Bahwa tidak semua asumsi dapat diuji pemenuhannya oleh data kita dengan mudah, itu benar. Beberapa asumsi statistik cukup ribet untuk diuji pemenuhannya oleh data yang tersedia. Beberapa asumsi lain dianggap dapat dipenuhi sejauh teori yang mendasarinya diasumsikan memenuhi asumsi statistik tersebut (bribet banget nggak sih?). Selain itu ada beberapa asumsi yang hampir mustahil untuk dipenuhi dalam penelitian yang sebenarnya, sehingga sejauh kondisi penelitian memuaskan maka asumsi ini dianggap dipenuhi.

4. Pengujian asumsi hanya perlu dilakukan sekali untuk semua analisis yang kita lakukan dalam penelitian. Yang benar adalah bahwa pengujian asumsi harus dilakukan untuk setiap analisis yang berbeda yang kita lakukan dalam suatu penelitian. Analisis yang berbeda di sini maksudnya adalah ketika kita menggunakan teknik yang berbeda atau menggunakan teknik yang sama tetapi menganalisis variabel yang berbeda.

5.Jika uji asumsi gagal maka analisis tidak dapat dilakukan lagi. Ini juga pemahaman yang keliru yang sering membuat jantung para mahasiswa berdegup kencang ketika melakukan uji asumsi. Saya masih ingat teman saya memilih tidak melihat hasil uji asumsi yang dilakukannya selama dua hari untuk menenangkan diri dan mengumpulkan keberanian dulu (true story lho), seakan-akan uji asumsi gagal maka tamatlah riwayatnya. Pelanggaran asumsi jelas dapat membuat ketidaktepatan hasil analisis, tapi tidak selalu berarti analisis tidak dapat digunakan sama sekali. Terkadang hasil analisis masih dapat digunakan dengan beberapa warning atau pemberitahuan akan kelemahan dan keterbatasan. Atau analisis masih dapat dilakukan dengan mengubah bentuk data atau menggunakan pendekatan yang berbeda terhadap data. Terkadang pelanggaran asumsi dapat diabaikan jika kita memiliki alasan kuat mengenai pengabaian yang kita lakukan, atau test yang kita lakukan itu cukup tangguh (robust) mengatasi pelanggaran asumsi.

6. Teknik statistik yang robust berarti dapat mengatasi semua pelanggaran asumsi. Ini sebenarnya masih terkait dengan no 5. Kalo no 5 itu pandangan pesimis, yang ini terlalu optimis. Teknik statistik seperti t dan F memang dapat dibilang robust ketika harus berhadapan dengan beberapa pelanggaran asumsi. Beberapa di sini yang saya tahu hanya asumsi normalitas. Statistik t dan F akan memberikan hasil yang benar-benar keliru (dalam arti tidak dapat ditolerir) jika asumsi homogenitas varian dilanggar. Jadi ke-robust-an t dan F hanya terkait dengan normalitas sebaran data.

Argumentasi saya akan diberikan dalam penjelasan mengenai asumsi t-test ini, beberapa saya tuliskan dalam posting yang berbeda ketika membahas teknik statistik terkait.

Baiklah, jadi apa saja asumsi dari t-test? Beberapa asumsi yang disebutkan di sini berlaku umum, dalam arti asumsi tersebut disyaratkan oleh semua t-test. Beberapa bersifat khusus hanya berlaku untuk t-test tertentu saja. Saya akan memberitahu ketika sampai pada penerapan yang sifatnya khusus.

Pengambilan sampel atau penetapan subjek (random sampling).

Dalam pembahasan di posting sebelumnya, saya beberapa kali menyebutkan “probabilitas jika diambil secara random”. Nilai p yang kita dapatkan dari uji statistik tertentu adalah probabilitas dari munculnya statistik tersebut dalam distribusinya jika pengambilan sampel dilakukan secara random.

Jadi jika pengambilan sampel dilakukan tidak dengan random maka p yang kita dapatkan tidak berlaku lagi. Kita cenderung untuk mendapatkan p yang lebih kecil dari yang seharusnya atau underestimasi nilai p. Hal ini membuat keterwakilan populasi dalam sampel dipertanyakan. Apakah benar hasil yang kita dapatkan dari analisis dapat digeneralisasi ke seluruh populasi? Misalnya ditemukan bahwa siswa putra lebih tinggi hasil tes matematiknya daripada siswa putri, apakah temuan ini dapat digeneralisasi ke seluruh populasi.Ataukah ini hanya kebetulan yang diakibatkan kesalahan pengambilan sampel yang tidak random?

Asumsi ini tentu saja sulit dipenuhi dengan baik dalam hampir semua penelitian (apalagi dengan keterbatasan dana dan tenaga seperti yang dialami mahasiswa...S1 lagi…). Oleh karena itu ada beberapa hal yang dapat dilakukan terkait dengan asumsi ini:

1. Dalam penelitian eksperimen, ketertarikan kita lebih pada efek dari treatment yang kita berikan bukan mean populasi secara keseluruhan. Oleh karena itu, jika kita melakukan random assignment, analisis dan hasilnya masih dapat diinterpretasi dengan baik. Kita masih dapat mengambil kesimpulan yang tepat mengenai efek dari treatment yang kita berikan. Ini diakibatkan random assignment akan menghilangkan bias dalam memasukkan subjek ke dalam kelompok sehingga perbedaan di antara dua kelompok dapat disimpulkan sebagai akibat dari adanya treatment. Yang perlu ditekankan disini adalah ‘ketertarikan lebih pada efek dari treatment’. Maksud saya, sekalipun kita melakukan random assignment, tapi jika tidak melakukan random sampling, kita tidak dapat melakukan generalisasi efek treatment ini ke populasi. Dibutuhkan replikasi-replikasi penelitian pada populasi yang sama untuk memastikan generalisasi dari efek treatmen ini.

2. Dalam penelitian non-eksperimental, kita mengalami masalah yang lebih besar (sejauh yang saya pelajari, teknik statistik memang selalu bermasalah dengan penelitian non-eksperimental … entah kapan akurnya…). Tujuan kita dalam penelitian ini hampir selalu membandingkan dua sampel yang berasal dari dua populasi, dan kemudian hasil dari perbandingan dua sampel itu akan digeneralisasi ke dua populasi. Misalnya kita ingin membandingkan Indeks Prestasi (IP) dari dua kelompok subjek yang berbeda daerah. Jika perbedaan terjadi di sampel dan teruji secara statistik, kita masih tidak dapat mengatakan bahwa perbedaan ini terkait dengan perbedaan asal daerah.Sangat mungkin, meskipun tanpa sengaja, kita mengambil mahasiswa yang ‘pandai’ untuk sampel yang satu dan mahasiswa ‘biasa saja’ untuk sampel lain. Peneliti perlu melakukan beberapa hal terkait dengan isu ini.

(1). Peneliti perlu mengumpulkan informasi sebanyak mungkin mengenai variabel lain dari subjek yang ikut menyumbang terhadap perbedaan IP seperti Inteligensi, asal sekolah, dll. Jadi selain dikumpulkan data mengenai IP, perlu juga dikumpulkan data mengenai Inteligensi tiap mahasiswa.

(2). Peneliti kemudian harus bisa menunjukkan bahwa kedua kelompok tidak memiliki perbedaan dalam semua variabel yang terkait dengan IP. Namun demikian analisis menguji ‘kesamaan’ (sebagai lawan uji perbedaan) antara dua kelompok untuk tiap variabel ini tetap tidak memberikan hasil yang memuaskan karena dilakukan sebagai usaha ‘menerima’ hipotesis nol (dalam pandangan statistik sangat sulit untuk ‘menerima’ suatu hipotesis sebagai benar karena ini mengasumsikan adanya p=1.0. Yang paling memungkinkan adalah ‘gagal menolak’ atau ‘tidak memiliki bukti kuat untuk menolak’ hipotesis nol).

(3). Peneliti dapat juga memasangkan subjek berdasarkan variabel-variabel tersebut, sehingga analisis dilakukan dengan mengasumsikan kedua sampel saling dependen. Dengan demikian analisis akan beralih dari t-test untuk sampel independen menjadi t-test untuk sampel yang dependen (matched paired, paired sample). Atau membuat variabel lain menjadi kovarian lalu mengganti analisis menjadi anakova. Kedua pemecahan ini tetap tidak memberikan hasil memuaskan mengingat kita tidak memiliki seluruh variabel yang menyumbang terhadap variasi IP. Kalaupun kita dapat mengumpulkan seluruh variabel, dibutuhkan sangat banyak subjek untuk dapat membuat analisis berjalan dengan baik.

(4). Semua usaha di atas perlu dan memang sebaiknya dilakukan untuk ‘memperkecil’ kesalahan pengambilan kesimpulan. Namun demikian, seperti yang telah dipaparkan, semua usaha itu tidak dapat menggantikan pengambilan subjek secara random. Oleh karena itu perlu bagi peneliti untuk mencantumkan pelanggaran asumsi ini dan usaha yang telah dilakukan sebagai kelemahan penelitian dan usaha untuk mengatasi kelemahan. Usaha ini saya pandang perlu untuk memberikan informasi yang tepat pada pembaca, tidak terlalu berlebihan (over pede) dan mengurangi kesimpulan yang salah arah, yang seringkali berdampak besar. (masih ingat penelitian mengenai efek mozart? Penelitian ini gagal direplikasi, digeneralisasi secara ngawur pada subjek yang berbeda, tapi banyak dipercaya oleh para praktisi yang kemudian menganjurkannya, menyebabkan terjualnya jutaan kopi dari program, kaset/CD dan bukunya tentu saja dan berdampak pada meningkatnya penghasilan beberapa orang…well ini sisi baiknya sepertinya).

Independensi observasi.

Maksudnya observasi terhadap subjek satu dengan yang lain harus independen satu dengan yang lain. Atau dengan kata lain, hasil observasi dari satu subjek tidak memberikan prediksi apapun mengenai hasil observasi dari subjek lain.

Ada beberapa kasus yang menyebabkan asumsi ini dilanggar antara lain:

1.Jika subjek satu dengan yang lain juga saling mempengaruhi hasil observasi. Contoh subjek menyontek atau memberi contekan subjek lain pada saat pengetesan atau ketika sekelompok orang yang cenderung memberikan respon yang sama seperti orang yang terlibat pertemanan kemudian diwawancarai bersamaan. Respon yang diberikan teman akan dapat mempengaruhi respon yang diberikan seseorang.

2.Jika kita menggunakan lebih dari satu observer, maka sangat mungkin hasil observasi satu subjek dependen terhadap hasil observasi subjek yang lain misalnya jika observer secara tidak sadar membandingkan observasi subjek pertama dengan subjek berikutnya.

3. Jika subjek mengetahui perilaku subjek lain dan kemudian menyesuaikan perilakunya (bisa dalam arti menyamakan atau membuat berbeda). Misalnya jika dalam eksperimen, kelompok kontrol merasa ‘dianaktirikan’ karena tahu bahwa mereka tidak diberi perlakuan khusus, maka mereka cenderung untuk berusaha sekuat tenaga untuk membuktikan bahwa mereka bisa.

4. Jika kita melakukan observasi antar waktu, maka akan ada kemungkinan bahwa perilaku seseorang dalam observasi di suatu waktu mempengaruhi hasil observasi orang yang sama di waktu yang berbeda. Contoh paling konkret adalah jika seseorang diminta mengisi skala dua kali pada dua kesempatan yang berbeda. Jika orang ini masih mengingat respon pada kesempatan pertama, ia mungkin akan memberikan respon yang tidak jauh berbeda pada kesempatan kedua.

Jika observasi satu dengan yang lain tidak independen, maka kita sebenarnya kehilangan lebih banyak derajat kebebasan yaitu sebanyak observasi/subjek yang saling mempengaruhi dalam penelitian. Ini membuat estimasi p dalam sampel menjadi terlalu kecil dibandingkan yang sebenarnya atau kita melakukan underestimasi nilai p.

Selain itu, estimasi standard error akan cenderung lebih kecil daripada yang sebenarnya, sehingga kita akan melakukan overestimasi nilai t yang kita dapatkan.Hal ini akan mengakibatkan underestimasi p, sehingga kita akan cenderung untuk melakukan tipe error I yang lebih besar (misalnya p yang kita temukan 0.05 padahal sebenarnya 0.1).

Distribusi Data Normal

Asumsi ini mungkin asumsi yang paling sering dilakukan oleh peneliti ketika melakukan analisis data statistik menggunakan t-test. Mengapa asumsi ini ada? Mengapa kita perlu memastikan bahwa data kita mengikuti distribusi normal?

Alasan utamanya terletak pada pembuatan tabel t yang dihasilkan dari perhitungan menggunakan populasi yang memiliki distribusi yang normal. Oleh karena itu, jika distribusi populasi penelitian kita tidak normal, bentuk distribusi t yang dihasilkan tidak seperti yang dituliskan dalam tabel pada umumnya. Artinya, jika kita menggunakan tabel pada umumnya untuk mengecek t yang kita dapatkan, kita akan melakukan kesalahan estimasi p. Misalnya seharusnya 0.2, menjadi terlihat seolah 0.05 di tabel.

“Maaf, Pak. Kami pake program komputer untuk analisis statistiknya”. Kalo itu sama saja, karena formula yang digunakan untuk mengestimasi p dalam program analisis statistik juga dihasilkan dari distribusi yang normal. Jadi akan tetap mengalami kesalahan estimasi. Kecuali, jika dengan program komputer kita membuat distribusi t yang baru yang didasarkan pada bentuk distribusi populasi dalam penelitian kita. “Susah?” hehe…banget menurut saya.

Untungnya…ada kabar baik. Ternyata t-test termasuk test yang robust ketika harus berhadapan dengan ketidaknormalan data khususnya jika ketidaknormalan populasi tidak terlalu parah. Melalui beberapa percobaan dapat diketahui bahwa penyimpangan p yang kita dapatkan dari analisis dari p yang sebenarnya tidak terlalu jauh berbeda.

Selain itu dalam central limit theorem disebutkan juga bahwa bagaimanapun bentuk distribusi data di populasinya, semakin besar sampel semakin normal distribusi mean sampelnya (Keppel & Wickens, 2004; Howell, 1984). Dan distribusi terlihat ‘cukup’ normal ketika sampel berisi sekitar 30 orang. Mungkin ini juga alasan mengapa kita sering mendengar ‘minimal sampel’ sebesar 30 orang. Pembahasan mengenai besar sampel akan dilakukan tersendiri.

Jadi aman-aman saja? Tunggu dulu. Ada kasus ketika pelanggaran normalitas bisa berakibat fatal, yaitu jika distribusi data untuk tiap populasi juling (skew) ke arah yang berbeda dan jumlah subjek sedikit dan tidak sama untuk tiap kelompok / sampel. Ini akan membuat error tipe I menjadi asimetris di kedua ujung distribusi (tail). Dalam hal ini, pengujian hipotesis berarah akan mengalami masalah serius dalam arti estimasi p dari tabel akan benar-benar melenceng dari p yang sebenarnya.

Lalu apa yang dapat kita lakukan jika asumsi ini dilanggar? Non parametrik? Hehe sabar ya. Pelanggaran asumsi ini tidak selalu harus diatasi dengan non parametrik tergantung situasi pelanggarannya.

(1).Jika distribusi data kita ternyata multi modal (memiliki beberapa puncak atau beberapa observasi dengan jumlah subjek cukup banyak), maka kita mencurigai adanya subsampel-subsampel. Kita perlu mengidentifikasi subsampel-subsampel ini dan menjadikannya sebagai faktor / variabel baru dalam model. Dengan demikian kita menggunakan teknik analisis lain, yaitu Analisis Varians Dua Jalur.

(2).Jika ketidaknormalan tidak terlalu parah kita dapat meneruskan analisis dengan alasan t-test merupakan uji yang robust terhadap ketidaknormalan.

(3).Kita bisa mentransform data kita menggunakan operasi matematik tertentu tergantung kondisi ketidaknormalan.

(4).Ya apalagi selain menggunakan analisis non-parametrik. Namun perlu diingat, bahwa meskipun analisis non parametrik tidak mensyaratkan bentuk distribusi tertentu, mereka tetap memiliki asumsi yang perlu dipenuhi juga. Ya distribution free statistics tidak sama dengan assumption free statistics (yang setahu saya memang nggak ada statistik yang bebas dari asumsi). Selain itu statistik non parametrik tidak cukup baik digunakan untuk desain yang kompleks (seperti desain dengan dua variabel independen).

Homogenitas Varians antar Kelompok

Homogenitas Varians…selain punya nama lain yang keren, ini memang asumsi yang cukup penting. Pelanggaran terhadap asumsi ini bisa berakibat fatal terhadap kesimpulan yang kita ambil dari analisis statistik. Asumsi ini berlaku khususnya ketika kita berurusan dengan t-test untuk sampel yang independen. Asumsi ini tidak dibutuhkan untuk t-test satu sampel, karena hanya ada satu sampel yang dianalisis. Juga tidak dibutuhkan untuk t-test sampel yang berhubungan, karena varians kelompok antara waktu yang satu dengan berikutnya biasanya homogen.

Nama lain Homogenitas Varians ini adalah Homoscedasticity (baca: homoskedastisiti, cobalah menyebutkan dengan kecepatan normal hehe… bahkan teman-teman kuliah saya yang belajar statistik juga kesulitan menyebutkannya. Homosceblablabla…). Lawan dari homoscedasticity adalah heteroscedasticity. Jika kondisi homoscedasticity terpenuhi dapat dikatakan varians antar kelompok memiliki besar yang sama. Jika varians antar kelompok tidak sama, kita sebut kondisi ini sebagai heteroscedasticity. OK cukup untuk latihan menyebutnya.

Homogenitas Varians di sini tentu saja terkait dengan homogenitas varians di populasi bukan di sampel. Jadi perbedaan varians yang tidak terlalu besar antara kelompok satu dengan yang lain tidak akan berakibat parah. Pelanggaran asumsi ini dapat terjadi atau perlu diwaspadai jika :

(1). Kita membandingkan kelompok berdasarkan gender, status sosial-ekonomi, atau klasifikasi lain. Seringkali terjadi kelompok-kelompok ini secara alami (dari sononya…) memang memiliki perbedaan varians.

(2). Treatmen dalam penelitian eksperimental terkadang juga dapat mempengaruhi variasi skor subjek selain meannya.

(3). Dalam beberapa pengukuran, seperti waktu reaksi, variasi subjek seringkali mengikuti kuantitasnya. Maksudnya dalam kelompok yang memiliki waktu reaksi yang kecil, variasi subjek juga cenderung kecil, sementara pada kelompok dengan waktu reaksi yang besar, variasi subjek juga cenderung besar.

Bagaimana buktiin kalo varians antar kelompok dalam penelitian itu homogen atau tidak? Setelah saya pikir agak lama, sepertinya pembahasan mengenai cara pembuktian ini akan ditulis dalam posting sendiri saja biar lebih detil. Sekaligus cara mencari lewat program SPSS nya.

Lalu apa dampaknya? Beberapa ahli mengatakan bahwa dampak heteroscedasticity ini tidak akan terlalu parah jika kita membandingkan sampel dengan jumlah subjek yang sama. Tetapi dalam penelitian terakhir ditemukan bahwa bahkan dalam sampel dengan jumlah yang sama pun, pelanggaran ini dapat berakibat cukup parah. (Sebagai ilustrasi dapat dilihat dalam Keppel & Wickens, 2004, hal.149).

Ketidakakuratan ini makin diperparah jika besarnya sampel antara kedua kelompok tidak sama, dan juga ketika sampel yang memiliki jumlah subjek terkecil ternyata memiliki varians yang besar. Selain itu pengujian hipotesis berarah juga dapat membuat test makin sensitif terhadap pelanggaran asumsi ini.

Terkait dengan jumlah sampel yang tidak sama, ada prinsip seperti ini:

(1). Jika hubungan antara besar sampel dan varians positif, dalam hal ini sampel yang kecil memiliki variasi yang kecil sementara sampel yang besar memiliki variasi yang besar, maka nilai p yang kita dapatkan dari hasil analisis cenderung lebih besar dari yang sebenarnya. Kondisi ini disebut juga uji statistik kita tergolong konservatif. Dalam hal ini, kesimpulan kita akan memiliki error tipe I yang kecil, tapi cenderung untuk melakukan error tipe II lebih besar.

(2). Jika hubungan antara besar sampel dan varians negatif, yaitu ketika sampel yang kecil memiliki varians yang besar sementara sampel yang besar memiliki varians yang kecil, nilai p yang kita dapatkan cenderung lebih besar dari yang sebenarnya. Jadi jika dari hasil analisis kita dapatkan p=0.05 maka p yang sebenarnya lebih besar (misal p=0.2). Dalam hal ini kita cenderung melakukan error tipe I lebih besar. Jadi ketika kita menyimpulkan hipotesis nol ditolak, sebenarnya hipotesis nol seharusnya tidak ditolak. Kondisi ini disebut juga uji statistik kita tergolong liberal.

Jadi apa yang bisa kita lakukan untuk menghindari kesimpulan yang keliru? Ada beberapa hal yang bisa kita lakukan:

(1). Beberapa ahli menyebutkan jika perbandingan antara varians terbesar dengan terkecil tidak lebih besar dari 4, maka t-test dapat dilakukan tanpa perlu kuatir mengenai heteroscedasticity.

(2). Beberapa ahli lain menyarankan cara yang konservatif (mengurangi tipe error I sekecil mungkin). Cara pertama dengan membagi dua besarnya alpha (tipe error I), atau kita sering menyebutnya taraf signifikasi yang akan kita pakai. Jadi jika kita ingin menggunakan taraf signifikasi 5%, maka sekarang kita mengacu pada taraf signifikasi sebesar 2.5% di tabel.

(3) Cara lain yang konservatif adalah dengan memperkecil db yang kita pakai untuk konsultasi ke tabel. Cara ini ditempuh dengan memilih salah satu sampel dengan n terkecil kemudian mengurangi jumlah subjek dalam sampel ini dengan 1. Jadi dbnya sekarang menjadi n_terkecil-1, bukan (n₁+ n₂- 2) lagi.

(4) Selain itu kita dapat juga menggunakan db yang dihitung ulang menggunakan formula tertentu untuk meningkatkan akurasi estimasi p. (Saya tidak mencantumkan rumusnya di posting ini, tapi bagi yang berminat dapat mengubungi saya).

Tapi kita tidak perlu repot menghitungnya, karena selain ribet, juga kita tetap akan kesulitan untuk konsultasi ke tabel karena db yang dihasilkan pasti berbentuk pecahan. Kebayang nggak liat tabel t mencari nilai kritis t untuk db 7.8932? Lalu? Perhitungan ini yang ditampilkan di SPSS di baris equal variances not assumed. Ya, jadi perhitungan di SPSS itu berasal dari rumus ini. (“Bilang kek dari tadi, tiwas deg degan harus itung manual,” sepertinya saya bisa mendengar suara ini). Seperti gambar di bawah ini:

Nah jika di SPSS kita bisa melihat baris ini jika kita meragukan homogenitas varians data kita. Kita bandingkan df (db) di baris atas sebesar 30 dan di bawahnya adalah db yang telah diadjust menjadi 21.323.

(5) Cara kelima ini terkait dengan mengganti analisis dengan analisis yang memungkinkan adanya perbedaan varians di antara kelompok. Kita bisa menggunakan Brown-Forsythe atau James second order method. Kita nggak akan bahas ini banyak di sini ya. Dalam program SPSS hanya ada prosedur Brown-Forsythe atau Welch untuk melakukan analisis yang lain ini.

(6) Cara terakhir untuk berurusan dengan pelanggaran homogenitas varians adalah dengan mentransform data. Ini hanya dilakukan jika kita yakin bahwa hasil transform data tidak akan mengubah esensi data kita (misalnya tidak akan mengubah kondisi berbeda mean menjadi tidak berbeda) atau hasil transform memiliki korelasi yang sangat tinggi dengan data sebelum ditransform.

Demikianlah kiranya pembahasan mengenai asumsi-asumsi dalam t-test. Banyak pemikiran di dalamnya saya ambil dari buku Keppel & Wickens, 2004. Sementara yang lain dari Moore, 2007; Howell, 1986; dan catatan kuliah saya.

Further Readings

Howell, D. C., (1986) Statistical methods for psychology. London: Duxbury Press

Keppel, G. & Wickens, T. D., (2004). Design and analysis, a resercher’s handbook. Fourth edition. Upper Saddle River:Pearson Prentice Hall.

Moore, D. S.(2007) The basic practice of statistics. Fourth edition. New York: W. H. Freeman and Company

t-test Revolution: Paired-Sample t-test

2007-12-29T05:21:00.001+07:00

Kita sudah membahas t-test dalam dua posting terdahulu berturut-turut. Posting pertama terkait dengan membandingkan mean sampel dengan mean populasi atau acuan tertentu. Kedua terkait dengan membandingkan mean dari dua sampel yang saling independen. Independen di sini dalam arti keduanya tidak terkait, tidak saling berhubungan, berasal dari dua populasi yang berbeda. Nah sekarang bagaimana jika sampel saling berhubungan atau jika kita melakukan penelitian menggunakan satu sampel tetapi diukur dua kali?

Sampel berhubungan? Ya maksdunya penetapan subjek masuk ke dalam salah satu dari kedua sampel juga dikaitkan dengan variabel lain. Misalnya dalam penelitian mengenai modul pengajaran terbaru, peneliti ingin mengendalikan variabel inteligensi dalam penelitiannya. Oleh karena itu ia mengukur inteligensi dari semua calon partisipannya, kemudian menentukan pasangan-pasangan yang memiliki inteligensi yang sama atau tidak terlalu berbeda. Dari tiap pasangan ini, salah satu akan masuk dalam kelompok yang diberi modul pengajaran terbaru, yang lain diberi modul konvensional. Karena subjek dipasangkan terlebih dulu sebelum dimasukkan dalam kelompok, dapat dikatakan kedua sampel sekarang saling berhubungan.

Contoh Kasus:

Anggaplah penelitian dalam posting kedua dilakukan lagi, tetapi kali ini, karena keterbatasan dana, peneliti hanya dapat mengambil satu sampel saja. Ia berencana untuk melakukan pretest dan posttest dan membandingkan keduanya. Jika hasil dalam posttest lebih tinggi dari pretest, dapat disimpulkan bahwa pelatihan dapat memberikan efek peningkatan motivasi berwiraswasta.

Distribusi Mean Beda Post-Pre

Lagi-lagi kasus ini juga dapat dipandang dengan sudut pandang yang sama dengan membandingkan mean sampel dan mean populasi. Hanya saja kali ini yang dibandingkan adalah mean dari perbedaan post dan pre di sampel dengan mean dari perbedaan post dan pre di populasi. Gambarannya seperti ini:

Mungkin ada yang bertanya,”Maaf, gimana dapetin mean beda post-pre?” Begini, pertama kita mencari terlebih dulu perbedaan antara pre dan post untuk seluruh subjek.

Subjek	pre	post	post-pre (D)
1	6	9	3
2	8	6	-2
	dst

Kemudian perbedaan post-pre dijumlahkan. Apakah tanda negatif dijadikan positif? Jawabannya tidak. Tanda negatif tetap diperlakukan sebagai negatif. Hasil penjumlahan ini kemudian dibagi banyaknya subjek dalam sampel.

Nah, karena yang kita analisis adalah mean dari beda post-pre, maka standard deviasi yang akan digunakan juga adalah standard deviasi dari beda post-pre. Rumus t-test akan terlihat seperti ini:

Beberapa penulis akan menggunakan rumus di sebelah kanan karena terlihat lebih ringkas, dengan D mewakili difference yaitu perbedaan post-pre. Jika kita amati rumus di sebelah kanan, maka kita bisa lihat bahwa rumus tersebut mirip sekali dengan rumus t test untuk membandingkan mean sampel dengan populasi, hanya berbeda simbol saja.

Apakah langkahnya sama? Ya. Setelah kita menemukan perbedaan pre-post untuk tiap subjek, kita bisa memperlakukan data perbedaan pre-post ini seperti kita melakukan t-test satu sampel, hanya saja mean dari beda pre-post di populasi akan sama dengan nol.

Oleh karena itu kita bisa menghitung standard deviasi dari beda pre-post seperti ini:

lalu mengestimasi standard deviasi dari mean beda pre-post.

Derajat Kebebasan

Kalau begitu berapa besarnya derajat kebebasan (db) untuk t-test antar waktu atau sampel yang berhubungan ini? Seperti sudah dijelaskan dalam posting sebelumnya, kita akan kehilangan derajat kebebasan sebanyak parameter yang kita estimasi. Dalam kasus ini hanya ada satu parameter yang kita estimasi yaitu standard deviasi dari beda pre-post di populasi. Estimatornya adalah standard deviasi dari beda pre-post di sampel. Oleh karena itu db dalam t-test sampel yang berhubungan sama dengan:

Kembali ke Contoh Kasus

Lalu bagaimana kita akan menyelesaikan kasus di atas? Anggap saja data yang kita miliki kurang lebih seperti ini:

Subjek	pre	post	Post-pre
1	5	8	3
2	6	9	3
3	4	6	2
4	4	7	3
5	5	7	2
6	6	8	2
7	7	8	1
8	6	7	1

Nah dari data tersebut kita akan menghitung mean dari perbedaan post-pre dan standard deviasi post-pre seperti ini:

Hasil perhitungan tersebut menghasilkan p yang kecil. Oleh karena itu kita dapat berkata bahwa mean dari beda post-pre di populasi tidak sama dengan nol. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa pelatihan memberikan perbedaan antara pre dan post.

Untuk melihat peningkatan, kita tinggal membandingkan saja mean pre dengan post. Jika mean post lebih besar daripada pre maka kita dapat mengatakan ada peningkatan. Atau dengan melihat mean dari beda post-pre. Jika mean tersebut positif maka kita dapat menyimpulkan adanya peningkatan, jika mean tersebut negatif, ini menandakan adanya penurunan.

Dalam kasus ini, mean beda post-pre tersebut positif, sehingga kita dapat menyimpulkan adanya peningkatan motivasi setelah pelatihan.

Alternatif Rumus t-test Sampel yang Berhubungan

Masih ingat dengan rumus t-test hasil penelusuran saya di t-test reloaded? Seperti ini:

Dalam posting tersebut saya menyebutkan bahwa karena kita berasumsi bahwa kedua sampel saling independen maka r_X1X2 akan sama dengan nol. Nah bagaimana jika r_X1X2tidak sama dengan nol? Jika r_X1X2 tidak sama dengan nol, maka ini adalah kasus t-test sampel yang berhubungan bukan?

Oleh karena itu rumus ini juga dapat digunakan untuk menguji perbedaan mean dua sampel yang berhubungan. Dalam hal ini, X₁ adalah pretest dan X₂ adalah posttest.Tidak percaya? baik mari kita buktikan dengan data kita tadi ya.

Aha! ternyata sama persis (catatan: angka-angka di sini merupakan pembulatan jadi mungkin kamu nggak akan menemukan angkanya persis seperti ini). Jadi memang kedua rumus ini berbicara hal yang sama.

Apakah kamu terpikir sesuatu terkait dengan perbandingan estimasi standard deviasi beda mean dan estimasi standard deviasi mean beda post-pre? Mana yang selalu lebih besar dari yang lain? Pikirkanlah! Diskusikan dengan saya jika kamu menemukan insightnya ya.

t-test Reloaded : Independent sample t-test

2007-12-28T02:34:00.002+07:00

Masih ingat posting sebelumnya? t-test the beginning? Kasus yang dimunculkan di sana adalah kasus membandingkan mean sampel dengan mean populasi atau acuan tertentu. Bagaimana jika peneliti ingin membandingkan mean dua sampel?Saya sarankan jika belum membacanya, bacalah dulu karena pemikiran yang ditulis disini merupakan kelanjutan pemikiran dalam posting tersebut.

Contoh Kasus

Mungkin ada baiknya jika kita mulai dengan contoh kasus.Seorang peneliti ingin melihat efektivitas pelatihan kewirausahaan yang dibuatnya. Ia mengajukan pertanyaan penelitian : Apakah pelatihan kewirausahaan yang dibuatnya akan meningkatkan motivasi untuk berwirausaha. Ia memilih secara random sekelompok pemuda dari sebuah desa. Kemudian ia melakukan random assignment untuk menentukan siapa yang akan memperoleh pelatihan terlebih dulu, dan siapa yang diberi pelatihan belakangan. Setelah dua kelompok terbentuk, pelatihan kewirausahaan dilakukan untuk kelompok pertama.

Setelah pelatihan pertama selesai, peneliti melakukan pengukuran motivasi berwirausaha dari kelompok pemuda yang telah diberi pelatihan dan yang belum. Ia berhipotesis bahwa kelompok pemuda yang belum menerima pelatihan akan menunjukkan motivasi yang lebih rendah dibandingkan yang telah memperoleh. Jadi bagaimana caranya melihat perbedaan ini?

Distribusi Beda Mean antara Dua Sampel

Kasus ini dapat dilihat dari sudut pandang yang sama seperti membandingkan mean sampel dari mean populasi: ingin mengetahui berapa besar kemungkinan memperoleh sampel dengan mean sebesar A dari sebuah populasi dengan mean sebesar B, yang dapat dirumuskan begini:

Jika kemungkinan memperoleh sampel dengan mean sebesar A dari populasi dengan mean sebesar B itu kecil, kita dapat bilang bahwa sampel dengan mean A tidak berasal dari populasi dengan mean B.

Dalam kasus ini, yang dibandingkan bukan mean dari satu sampel dengan mean populasi melainkan perbedaan mean dari dua sampel dengan perbedaan mean dari dua populasi, yang dirumuskan sebagai berikut:

Jika kita bandingkan rumusan ini dengan sebelumnya akan terlihat sangat mirip, bukan?

Untuk menemukan besarnya kemungkinan, kita perlu mencari dulu nilai standard dari perbedaan ini. Dalam hal ini kita menggunakan distribusi t. Rumus yang digunakan juga memiliki prinsip yang sama dengan rumus mencari nilai t untuk membandingkan mean sampel dari mean populasi; seperti berikut:

Bandingkan dengan t untuk membandingkan mean sampel dari mean populasi :

Perbedaan keduanya hanya terletak pada apa yang dianalisis. Dalam kasus beda mean yang dianalisis adalah beda mean, sehingga kita menggunakan Standard Deviasi untuk distribusi perbedaan mean. Sementara dalam kasus mean sampel, yang dianalisis adalah mean sampel, sehingga kita menggunakan Standard Deviasi untuk distribusi mean sampel.

Ada satu perbedaan lain antara kedua kasus ini. Dalam kasus membandingkan mean sampel dengan mean populasi, mean populasi bisa memiliki nilai berapapun. Sementara dalam kasus membandingkan perbedaan mean 2 sampel dengan perbedaan mean 2 populasi, kita biasanya menetapkan perbedaan mean 2 populasi sama dengan nol. Jadi dalam hal ini :

Biasanya? Ya, sebenarnya kita dapat menetapkan perbedaan mean 2 populasi bukan nol jika kita memiliki dasar yang kuat untuk melakukannya. Dalam hal ini, yang dimaksud dasar yang kuat adalah teori atau penelitian sebelumnya. Beda mean 2 populasi diasumsikan nol, karena kita ingin menguji apakah pelatihan memberi efek atau tidak. Jika memberikan efek maka beda mean 2 populasi tidak akan sama dengan nol, jika tidak memberikan efek, beda mean 2 populasi akan sama dengan nol (tidak ada perbedaan). Nah kita menggunakan tidak memberikan efek sebagai acuan.

Ya ya saya bisa dengar pertanyaanmu,”mengapa tidak menggunakan ‘memberikan efek’ sebagai acuan?” Alasannya, kita tidak tahu berapa angka yang dapat digunakan untuk menjadi acuan ‘memberikan efek’, dua, sepuluh, lima belas? Sementara “tidak memberi efek” hanya memiliki satu angka yaitu nol. Dalam hal ini jauh lebih mudah menggunakan acuan nol daripada bukan nol.

Standard Deviasi Distribusi Beda Mean

Nah masalah berikutnya terkait dengan bagaimana mengukur standard deviasi distribusi beda mean? Kita akan menggunakan prinsip yang sama dengan distribusi mean sampel, yaitu :

Dengan menggunakan prinsip ini dan juga rumus standard deviasi :kita akan menemukan rumus Standard Deviasi Distribusi Beda Mean sebagai berikut:

Jika ditelusuri terus, persamaan ini akan menjadi seperti ini: (proses penelusuran ini saya cantumkan di akhir posting agar kita tetap fokus ke pembahasan ini)

Karena diasumsikan kedua sampel saling independen satu dengan yang lain maka r_X1X2 akan sama dengan nol. Ini akan membuat persamaan ini menjadi :

Nah persamaan inilah yang sering kita lihat di buku-buku ketika membahas mengenai t-test. Jadi jika kita gabungkan, rumus t-test untuk sampel yang independen akan seperti ini:

Derajat Kebebasan

Hal berikutnya yang perlu kita cari adalah berapa derajat kebebasan (db) untuk t-test sampel yang independen ini. Masih ingat pembahasan mengenai derajat kebebasan t-test untuk satu sampel? Derajat kebebasan terkait dengan berapa banyak parameter yang kita estimasi. Setiap satu parameter kita estimasi, kita akan kehilangan satu derajat kebebasan.

Jika demikian berapa banyak parameter yang kita estimasi dalam t-test ini? Dua? Ya betul! Ada dua, yaitu varians populasi pertama dan kedua. Keduanya kita estimasi menggunakan varians masing-masing sampel (S²_X1dan S²_X2). Nah, karena kita mengestimasi dua parameter, kita akan kehilangan 2 derajat kebebasan, satu untuk tiap sampel. Oleh karena itu db dari t-test sampel yang independen dapat dirumuskan seperti ini:

Kembali ke Contoh

Baiklah, kita kembali ke contoh untuk melihat aplikasi t-test ini. Anggap saja kita mendapatkan perhitungan berikut dari data.

	X1 (pelatihan)	X2 (belum)
Mean	89	67
Varians	25	36
n	10	10

Dari data seperti ini dapatkah kita mengatakan bahwa kelompok pemuda yang telah memperoleh pelatihan itu memiliki tingkat motivasi yang lebih tinggi daripada yang belum memperoleh pelatihan? Mari kita terapkan data ke dalam rumus :

Hasil perhitungan menunjukkan bahwa kesempatan untuk mendapatkan perbedaan sebesar itu dari dua populasi yang perbedaannya nol adalah 0.000. Nilai p sebesar ini dianggap sangat kecil, sehingga kita dapat berkata ada perbedaan yang signifikan antara mean kedua kelompok. Ini berarti perbedaan yang terjadi di antara kedua sampel dapat mencerminkan perbedaan di populasinya.

Alternatif Rumus t-test

Selain rumus yang telah disajikan sebelumnya, t-test juga bisa menggunakan rumus lain, seperti berikut:

Ide ini berasal dari pemikiran bahwa varian dari kedua sampel dapat dicari reratanya. Rata-rata dari varians kedua sampel ini yang disebut S² pooled. Rumus ini hanya berlaku jika varians kedua sampel tidak jauh berbeda. Jika varians kedua sampel jauh berbeda maka rumus ini akan memberikan estimasi yang keliru. Hal ini akan dibahas dalam posting mengenai Asumsi dalam t-test.

Nah demikianlah t-test untuk sampel yang independen berasal. Dan juga bagaimana aplikasinya. Kita masih ada dua pembahasan lagi nih untuk posting berikutnya: mengenai t-test untuk sampel yang berhubungan atau antar waktu, dan asumsi dalam t-test.Besar harapan saya, pembaca bisa menemukan benang merah (atau warna apapun boleh) antara Z, t-test satu sampel dan t-test sampel independen ini.

Penelusuran Rumus Standard Deviasi Beda Mean

Seperti yang saya tulis sebelumnya saya mencantumkan ini di akhir posting agar tidak ‘mengganggu pemandangan’, khususnya bagi yang agak mengalami alergi dengan rumus matematika. Penelusuran ini saya tampilkan untuk ‘pembuktian’ mengenai pemikiran saya tentang kesamaan pemikiran Z, t-test satu sampel, dan t-test sampel independen (dan nanti t-test sampel yang dependen atau antar waktu).

Penulusuran ini berjalan seperti ini (Peringatan saya, memandang pembuktian rumus sekecil ini dapat merusak mata. Oleh karena itu silahkan diklik saja supaya ditampilkan dalam image yang lebih besar) :

t-test : The Beginning

2007-12-22T21:43:00.002+07:00

Setelah lelah bercerpen ria. Sekarang saya mau istirahat dulu dari menulis cerpen, dan menyajikan materi seperti biasa yang saya sukai, bertutur. Kali ini saya ingin menunjukkan keterkaitan antara Z score dengan Uji-t yang manapun. Dengan melakukan ini saya berharap kita tidak lagi harus menghafal rumus mati-matian atau bolak-balik catetan kalo ujian. Dengan pemahaman ini, saya berharap kita cukup mengingat satu rumus saja dan prinsip dasar serta logikanya sehingga ketika berhadapan dengan tiap situasi, kita bisa menerapkan variasi dari rumus tersebut.

Z score
Sebenarnya ide awal pengujian statistik khususnya t-test berasal dari Z-score… Ya, ya saya bisa dengar suara di ujung sana bertanya,”Ehm ehm maaf, Pak, Z-score itu apa ya?”. Tenang saja, itu makanya saya kasih judul sub bab ini seperti itu karena ini yang mau saya bahas pertama kali (ribet banget nggak sih ngomongnya?).

Z-score adalah skor standard berupa jarak skor seseorang dari mean kelompoknya dalam satuan Standard Deviasi. Z-score memiliki banyak sekali kegunaan, misalnya membandingkan posisi seseorang dengan orang lain dalam kelompok masing-masing. Budi, mendapat nilai 7 sementara Andi 9. Budi berargumen bahwa guru kelasnya itu pelit nilai sementara guru kelas Andi itu baik hati. Nah untuk membuktikan apakah memang Budi mendapat nilai yang sama atau lebih baik dari Andi, kita menggunakan Z-score. Pemikirannya begini, karena semua anak di kelas Andi atau Budi mendapat perlakuan yang sama (tentu saja dengan asumsi tidak ada anak emas, anak perak, dll), kita tinggal membandingkan posisi Budi dan Andi dalam kelas mereka masing-masing. Jika posisi Budi lebih tinggi daripada Andi dalam kelas mereka, kita bisa bilang Budi sebenarnya memiliki nilai lebih baik dari Andi.

Rumus? Mari kita baca definisi Z-score sekali lagi: jarak skor seseorang dari mean kelompoknya ini berarti:

dalam satuan Standard Deviasi, ini berarti jarak tadi dibagi Standard Deviasi. Rumusnya jadi begini:

Kegunaan lain dari Z-score adalah kita bisa menghitung persentase orang-orang yang berada di atas atau di bawah skor tertentu. Nah, biasanya diasumsikan sebaran data yang diacu itu normal. Lagi-lagi saya mendengar suara nun jauh di,”Mengapa?”. Karena bentuk ini yang paling mudah dijadikan acuan. Sebenarnya bentuk lain juga bisa dihitung persentasenya, hanya saja akan sangat banyak variasinya sehingga kita harus menghitung kasus per kasus. Ini akan menyulitkan pembuatan formula yang dapat berlaku umum. Oleh karena itu sebaran data yang normal ini yang dijadikan acuan.

Gambarannya seperti ini:

Dalam gambar ini bisa dikatakan area berwarna biru adalah persentase banyaknya orang-orang yang skornya lebih besar dari -2 SD. Sementara area yang berwarna hijau menggambarkan persentase orang-orang yang skornya lebih kecil dari -2SD atau bisa dibilang juga lebih ekstrim. Nah untuk mendapat angka persisnya bisa kita lihat di tabel. Caranya? Lihat posting sebelumnya mengenai Confidential Interval ya.

Contoh? Oke oke… Misalnya contoh yang kita lihat tadi. Benarkah Andi memiliki kemampuan lebih dibanding Budi? Kita tahu bahwa skor Andi itu 9 sementara Budi itu 7. Nah misalnya saja di kelas Andi rata-rata murid mendapat skor 8, sementara Budi 5. Standard Deviasi di kelas Andi dan Budi misalnya sama-sama 1. Dan kita anggap saja kedua kelas memiliki sebaran data yang normal. Nah mari kita terapkan data ini:

OK, dari perhitungan terlihat bahwa ternyata Andi hanya berada dalam jarak 1 SD dari mean kelompoknya, sementara Budi 2 SD lebih tinggi dari mean kelompok. Dari sini sudah terlihat bahwa Budi sebenarnya memiliki skor yang lebih tinggi. Ini makin terlihat jika kita membandingkan persentase orang-orang yang berada di bawah skor mereka. Andi berada di atas 84.13% murid-murid lain di kelasnya, sementara 97.72% murid-murid di kelas Budi berada di bawah nilai Budi. Ini berarti Budi termasuk murid pintar di kelasnya, karena hanya ada 2.28% (100%-97.72%) murid di kelas Budi yang memperoleh nilai sama seperti Budi atau lebih tinggi.

Kita juga bisa berkata bahwa Budi dan 2.28% murid di kelasnya termasuk murid langka, jarang atau sulit ditemui (kayak pejabat aja ya sulit ditemui). Dengan kata lain, jika kita masuk ke kelas dan memilih secara random, kecil kemungkinan kita akan memilih Budi dan 2.28% temannya. Ini yang kemudian akan jadi dasar penentuan uji hipotesis menggunakan signifikasi.

Central Limit Theorem

Nah ide ini kemudian juga digunakan untuk mencari berapa besar probabilitas kita memilih secara random sebuah kelompok dengan mean tertentu dari populasi dengan mean tertentu. Duh bingungin ya. Misalnya begini: berapa besar probabilitas memperoleh sekelompok mahasiswa dengan rata-rata IP di atas 3.5 dari populasi mahasiswa yang rata-rata IP-nya 2.5 secara random?

Jika kita menganggap rerata sampel sebagai unit analisis seperti Budi dalam kasus di atas, kita bisa menerapkan ide yang sama dengan Z score tadi, lihat gambar berikut:

Lingkaran besar ini menggambarkan kelas Budi dalam kasus di atas. Lingkaran kecil di dalamnya menggambarkan tiap siswa di kelas tersebut termasuk Budi. Anggap saja lingkaran kecil tersebut banyak.

Dalam kasus tersebut Budi dan siswa di kelasnya menjadi unit analisis. Tiap siswa merupakan satu unit analisis. Jika kelas Budi berisi 40 siswa, maka ada 40 unit analisis atau kita sering menyebut dengan n = 40. Kita menghitung mean kelas, SD kelas dari unit-unit analisis ini.

Sekarang kita bandingkan seandainya sampel yang menjadi unit analisisnya.

Nah dalam kasus mahasiswa gambarnya kurang lebih seperti ini. Sama? Ya tentu saja karena saya hanya copy paste hehe… Tapi memang idenya sama. Sekarang, lingkaran besar merupakan populasi, dan lingkaran kecil adalah sampel mahasiswa termasuk sampel yang memiliki rerata 3.5.

Jika kita ingin tahu berapa persen sampel mahasiswa yang reratanya 3.5, kita dapat menggunakan ide yang sama dengan kasus Budi tadi. Benarkah? Baiklah kita coba terapkan rumus Z di atas.

Hm…sepertinya ada yang salah? Ya berapa SD-nya saudara-saudara? Perhitungan di sini sebenarnya sama dengan perhitungan SD dalam kasus Budi. Perbedaannya, dalam kasus Budi kita menghitung SD dari distribusi skor individu, sementara dalam kasus ini kita menghitung SD dari distribusi mean sampel atau mean dari sekelompok individu. Lihat ilustrasi berikut:
Rumusnya? Plêk padha (persis sama dalam bahasa Tegal). Lihat perbandingan berikut ini:

Sama kan?
Hanya saja masalahnya, kita bisa menarik sampel hingga jumlah yang tak terbatas berkali-kali (k=tak terhingga), sehingga menghitung SD dari distribusi mean sampel hampir merupakan pekerjaan mustahil buat kita. Selain itu cara ini mengharuskan kita mengambil sampel sangat banyak dan menghitung meannya padahal ketertarikan kita hanya pada satu sampel dengan mean 3.5. Ini tentunya tidak efisien alias repot!

Untung saja ada Central Limit Theorem (CLT). Salah satu hal yang dinyatakan oleh CLT ini adalah SD dari distribusi mean sampel besarnya akan sama dengan hasil bagi antara SD populasi dengan akar dari besarnya sampel, atau begini:

Yang perlu diingat di sini, s_X adalah SD dari populasi bukan SD dari sampel yang kita dapatkan. Tentu saja ini akan menimbulkan masalah baru, tapi untuk sementara anggap saja kita tahu besarnya SD dari populasi.

Jadi mari kita bereskan masalah tadi. Misalnya kita tahu bahwa besarnya sampel mahasiswa dengan rerata IP 3.5 yang kita miliki adalah 9 orang dan SD dari populasi adalah 1.8 Berapa persentase mendapatkan sampel dengan mean IP 3.5 atau lebih besar?

Ini berarti kemungkinan kita memperoleh sampel dengan mean sebesar 3.5 dalam populasi ini sebesar 4.78%. Besarkah atau kecilkah kemungkinannya? Itu tergantung penilaian masing-masing. Beberapa orang menggunakan patokan p lebih kecil dari 0.05 sementara yang lain menggunakan judgment, penilaian sendiri (thanks for Dr Huberty). Penilaian sendiri ini tentunya terkait dengan pertimbangan-pertimbangan tertentu seperti apakah ini penelitian awal atau lanjutan, temuan-temuan dalam penelitian sebelumnya, dsb.

Jadi aplikasinya begini: jika kita mengambil suatu sampel (sebesar 9 orang) secara random dari suatu populasi A, kemudian menghitung mean IP-nya dan mendapatkan angka 3.5, dapat kita simpulkan bahwa sampel kita ini kecil kemungkinannya (jika 4.78% dianggap kecil) berasal dari populasi dengan mean IP 2.5. Kemudian disimpulkan bahwa sampel ini bukan berasal dari populasi dengan IP 2.5. Ini yang kemudian diberi label signifikan: ada perbedaan signifikan antara mean populasi dengan mean sampel. Kesimpulan lanjutannya jadi seperti ini: karena sampel kita kecil kemungkinannya berasal dari populasi dengan mean IP 2.5, ini berarti populasi A (tempat sampel kita berasal) kecil kemungkinannya memiliki mean IP sebesar 2.5.

OK deh. Beres.

Ya ya ya saya tahu. Tadi saya bilang kalo menggunakan standard deviasi populasi (s_X) akan menimbulkan masalah tersendiri. Masalahnya, kita seringkali (bahkan hampir selalu) nggak pernah tahu berapa besarnya standard deviasi di populasi. (Saya seakan bisa mendengar,”Hah?! Lalu?”) Ya ya saya bisa paham perasaanmu, seperti tertipu begitu? Tenang, penjelasan tadi memang perlu untuk memahami apa yang akan saya bahas berikutnya dan juga melihat kaitan keduanya.

Distribusi t

Karena kita nggak pernah bisa tahu standard deviasi populasi, kita perlu melakukan estimasi terhadap standard deviasi populasi ini. Estimasinya berasal dari… Yak betul! Dari standard deviasi sampelnya. Jadi kita akan mengganti s_X dengan SD_X. Di sini muncul masalah baru (duuh masalah mlulu kapan selesainya?). Ternyata dengan mengganti s_X dengan SD_X distribusi sebaran mean sampel jadi berubah. Bukan lagi mengikuti kurve normal, tetapi mengikuti distribusi baru. Aha! Tepat sekali! Distribusi baru ini adalah distribusi t (t kecil).

Distribusi ini ditemukan oleh seseorang bernama William Gosset dengan nama samaran ‘student’. Oleh karena itu statistik ini disebut ‘student t distribution’. Dia adalah salah satu staf di perkebunan anggur milik Guiness. Hmm… Siapa bilang statistik itu membosankan. Probabilitas ditemukan di meja judi, distribusi t ditemukan di tempat pembuatan bir, F test (yang akan kita pelajari berikutnya) berasal dari jamuan minum teh. Adakah yang lebih menyenangkan dari ini? (Thanks Jon, for the illustration).

Nah sekarang rumusnya akan berubah sedikit menjadi seperti ini:
Ya kita akan menggunakan istilah estimated karena standard deviasi dari distribusi mean sampel ini adalah hasil estimasi dari sampelnya.

ini sering juga disebut estimated standard error atau banyak yang menyebut hanya sebagai standard error. (Saya bisa mendengar beberapa berteriak,”Aha!” memperoleh pencerahan).

Teknik atau rumus ini kemudian disebut sebagai one sample-t test, atau t-test untuk satu sample, digunakan untuk menguji perbedaan antara mean satu sample dengan mean populasi atau suatu acuan lainnya.

Dengan demikian sekarang jadi jelas bukan kaitan antara Z dan t. Semua prosesnya kemudian menjadi sama dengan jika kita menggunakan Z. Perbedaannya terletak pada tabel acuan distribusinya. Jika menggunakan Z kita mengacu ke tabel distribusi normal, di sini kita akan menggunakan acuan tabel distribusi t. Selain itu distribusi t ternyata juga berbeda-beda untuk tiap derajat kebebasan/degrees of freedom (db / df). Jadi untuk tiap db akan ada distribusi t-nya sendiri sehingga sangat penting untuk mengetahui db ini. Makin besar dbnya, distribusi t ini akan menyerupai distribusi normal.

Derajat keBebasan?

Ya derajat kebebasan (db). Db ini bersumber dari pemikiran ini: tiap kali kita mengestimasi parameter (karakteristik populasi), kita akan kehilangan satu derajat kebebasan. Ilustrasinya begini: misalnya ada populasi dengan mean sebesar 10. Jika kita diijinkan untuk mengambil sampel sebesar 10 orang dari populasi ini, berapa banyak orang yang dapat kita ambil dengan bebas? Misalnya kita ambil orang pertama secara bebas, ia memiliki skor 14. Orang kedua masih dengan bebas, ia memiliki skor 8. Kemudian berturut-turut orang selanjutnya: 15, 6, 11, 14, 8, 6, 5 dan orang kesepuluh…. Tidak. Orang kesepuluh tidak dapat diambil secara bebas lagi. Jika sudah ada 9 angka, angka ke sepuluh tidak lagi dapat ditentukan dengan bebas agar mendapat estimasi yang sama (mean = 10). Misalnya jumlah skor-skor tadi adalah 87. Agar estimasi yang kita dapatkan sama, yaitu mean = 10, orang kesepuluh harus ditentukan sebesar 13. Dengan demikian dapat dikatakan kita kehilangan satu derajat kebebasan.Nah db inilah yang kemudian digunakan untuk melihat tabel t.

Dalam perhitungan kita tadi, kita hanya mengestimasi satu parameter yaitu s_X, oleh karena itu kita hanya kehilangan satu derajat kebebasan, sehingga db yang kita miliki sekarang adalah N-1, yaitu 49-1 = 48.

Contoh

OK, contohnya begini. seorang peneliti sosial ingin mengetahui apakah desa A itu dapat digolongkan dalam desa miskin atau tidak. Peneliti kemudian mengambil data penghasilan penduduk dari sampel yang diambilnya secara random sejumlah 49 KK. Peneliti kemudian menghitung standard deviasi dan mean dari penghasilan 49 KK ini, ditemukan S_X=140000, dan Mean penghasilan= 290000 rupiah perbulan. Misalnya batas kemiskinan itu adalah 250.000 rupiah perbulan. Jadi apakah desa A masih dapat digolongkan sebagai desa miskin? Mari kita buktikan:

Dari perhitungan di atas kita mendapatkan p(t(48))=2.55% (baca: probabilitas munculnya t dengan df=48 sama atau lebih besar dari 2 adalah 2.55%). Karena angka sebesar 2.55% itu termasuk kecil (menurut saya) saya bisa berkata bahwa desa A sudah tidak dapat dianggap sebagai desa miskin lagi, tapi sudah di atas peringkat desa miskin. Berapa peringkat di atasnya? Itu tidak dapat dijawab dalam penelitian lagi, diperlukan penelitian lagi dengan acuan yang berbeda.

Nah sekarang baru beres? Belum. Pertanyaan selanjutnya: bagaimana jika yang saya inginkan adalah membandingkan mean dari dua sampel, mean tiga sampel, mean dari sampel-sampel yang berkaitan? Jika demikian tunggu posting berikutnya ya.

Kalo Signifikasi Tidak Bicara Besar Kecil, Lalu Apa?

2007-12-17T10:28:00.000+07:00

Kisah ini fiktif belaka lagi. Tokoh dan peristiwa di dalamnya hanyalah karangan belaka. Tidak ada maksud untuk merepresentasikan seseorang atau suatu peristiwa tertentu. Jika ada kesamaan-kesamaan, maka itu hanyalah kebetulan saja.

Terlihat seorang lelaki dan perempuan sedang membicarakan hal yang serius di pojok kantin kuliah.
“Jadi nggak ada kepastiannya?” tanya si perempuan.
“Ya nggak ada kepastiannya”, jawab si lelaki.
“Kok gitu?” si perempuan mendesak seperti tidak terima.
“Loh kalo memang nggak ada kepastian ya nggak bisa dipasti-pastiin to ya”, jawab si lelaki lagi.
“Terus aku harus gimana?”, si perempuan bertanya,”harus jawab apa?”
“Ya seperti yang sudah tak beritahu ke kamu,” jawab si lelaki lagi.
“Tapi…”

Seminggu Yang Lalu

“Rei, rei, gimana hasil analisisnya?” tanya Rio.
“Ya sudah selesai. Sekarang tinggal bikin pembahasan aja”,jawab Rei,”Tapi saya nggak yakin nih. Masih inget diskusi sama Pak Agung nggak?”
“Waduh lupa tuh. Hehe. Kalo urusan kuliah memorinya nggak pernah bisa kerjasama”,jawab Rio sekenanya.
“Ah kamu memang payah,”kata Rei,”yang itu lo mengenai signifikan nggak selalu berarti besar.”
“Kalo itu aku inget. Intinya kalo uji hipotesis signifikan, nggak berarti perbedaan atau korelasinya besar. Itu yang tak inget sih”, kata Rio.
“Nah itu dia. Masalahnya kan Pak Agung belum jelasin gimana tahunya perbedaannya besar atau kecil kalo nggak pake signifikasi. Waktu itu dia keburu mau ngajar. Aku pengen tahu aja caranya. Rencananya sih mau tak laporkan di skripsiku juga”, kata Rei.
“Wah kok pake repot segitunya sih?”tanya Rio.
“Ya kan biar saya bisa bilang hasilnya besar atau kecil. Kalo pengujinya Pak Agung terus ditanya-tanya apa dasarnya kan repot”, kata Rei,”kabarnya Pak Agung itu ceriwis sekali di dalam ruang ujian.”
“Iya sih yang tak denger gitu. Syerem… hehe… Terus gimana?” tanya Rio.
“Tolongin aku dong, Rio. Tanyain ke Pak Agung”, kata Rei.
“Lah kok aku yang nanya? Udah kamu nanya sendiri aja. Pak Agung nggak galak ini”, kata Rio.
“Yaa nggak enak dong. Aku dah sering banget nanya-nanya. Malu, masa nanya terus. Nanti kalo pas ujian dia yang nguji kan nggak lucu. Ya Rio ya…pliiis.”Rei pun memasang tampang mengiba penuh harap.
“Iya iya deh. Aku paling nggak tahan liat mukamu kalo dah gitu”, jawab Rio.
Rei pun tersenyum senang.
“Tapi ada ongkosnya lo ya”,sambung Rio.
“Iya, iya nanti tak traktir makan di soto Pak Trimo deh”, kata Rei.

Judgment Call

“Met siang, Pak”, Rio menyapa sambil mengetuk pintu ruang Pak Agung.
“Ya ya selamat siang. Ada apa ya?” tanya Pak Agung.
“Gini, Pak. Saya mau nanya nih tentang statistik”, kata Rio,”tapi kalo Pak Agung nggak repot”.
“Wah ya kalo repot, pasti repotnya. Tapi nggak masalah kalo mau nanya-nanya. Saya nggak keberatan direpoti”, jawab Pak Agung sambil membereskan buku-buku di atas mejanya yang memang sepertinya tidak pernah ditata dengan baik.
“Makasih, Pak. Saya mau nanya tentang penjelasan bapak mengenai signifikan nggak selalu berarti besar”, kata Rio,”Waktu itu Pak Agung belum sempet jelasin lalu pake apa kalo mau melihat efeknya besar apa nggak.”
“Oh mengenai itu. Kenapa kok tiba-tiba kamu nanya itu?” tanya Pak Agung lagi.
“Eh … ng … itu, Pak…saya cuma penasaran aja gimana selanjutnya”, Rio agak gelagapan juga cari alas an. Nggak mungkin dong dia bilang Rei yang minta tolong dia buat nanya Pak Agung.

“Oh gitu ya. Menurutmu gimana cara tahu perbedaannya besar atau nggak?” tanya Pak Agung.
“Yah bapak ini, saya nanya karena nggak tahu kok malah balik ditanya”,kata Rio sambil berusaha bercanda.
Pak Agung tersenyum, tapi dengan serius dia menunjuk kepalanya sendiri dengan jari telunjuknya. Rio segera tahu Pak Agung serius bertanya, memang dosen satu ini suka sok misterius begitu.
“Eh… ng … gimana ya?” Rio agak gelagapan sambil berpikir keras.
“Kalo uji beda yang berbeda apanya to?”tanya Pak Agung.
“Ya meannya Pak. Mean antar kelompok”,jawab Rio agak bingung. Dalam hati ia bertanya,”Ya lalu kenapa?”
“Jadi kalo kamu pengen tahu perbedaannya besar apa yang dilihat?” tanya Pak Agung lagi.
“Beda meannya gitu, Pak?”ragu akan jawabannya sendiri, Rio tetap mengatakannya.
“Ya…ya… Karena yang diuji beda mean, ya kalo mau lihat besar atau kecil ya lihat beda meannya dong”, jawab Pak Agung.
“Tapi, Pak… Dulu bapak bilang beda mean itu nggak bisa dijadikan acuan beda populasi karena mungkin terjadi karena sampling error. Terus gimana, Pak?”Rio kebingungan.
“Oh saya tahu. Kalo hasil uji hipotesisnya signifikan kita baru bisa pake beda mean sebagai acuan besar kecil gitu ya,Pak?” kata Rio menjawab pertanyaannya sendiri.
“Bisa dibilang begitu”,jawab Pak Agung. Entah kenapa dosen satu ini hari ini sok cool banget dan sok misterius banget.
“Terus acuannya gimana, Pak?”, Rio bertanya lagi dengan mantap.”Ah ternyata semudah itu ya jawabannya”,pikirnya dalam hati.
“Tidak ada”, jawab Pak Agung singkat.
Seandainya ini film kartun Jepang, Rio pasti sudah terjungkal ke belakang saking kagetnya disertai balon suara : GUBRAKK!!
“Loh terus gimana nentuin besar kecilnya, Pak?” tanya Rio setelah ia tersadar dari fantasi kartun jepangnya.
“Ya pake ini,”kata Pak Agung sambil menunjuk kepalanya lagi,”Judgment. Penilaian”.
Rio seakan mendengar petir menyambar-nyambar bersambungan di dalam hatinya… nggak segitunya kali ya. Maaf terlalu dramatis kali yee…

Standardized Mean Difference atau Beda Mean yang diStandardkan (d).

“Tapi Rio, kan itu subjektif banget”, Rei menyela bahkan sebelum Rio menyelesaikan penjelasannya.
“Aduuh sabar dong. Kan aku belum selesai jelasin”, kata Rio agak kesal. Dalam kepalanya seakan ada counter yang menghitung berapa kali Rei menyela penjelasannya. Sampai sejauh ini angkanya mencapai 18 baru dalam satu jam percakapan.
“Iya iya maaf. Soalnya kan itu subjektif banget. Masa kita pake penilaian kita sendiri”, kata Rei.
“Nggak cuma itu. Beda mean tidak dapat dijadikan dasar untuk membandingkan penelitian satu dengan yang lain…”, kata Rio
“Kok bisa?” Rei menyela lagi. Dalam kepalanya counter berbunyi klik dan angka menjadi 19.
“Karena penelitian yang berbeda mungkin menggunakan skala atau alat pengumpul data yang berbeda sehingga unit ukurnya nggak sama. Gampangnya gini kalo aku ngukur panjang meja ini dengan unit centimeter, kamu pake unit inci kan nggak bisa dibandingin…” belum selesai Rio bicara lagi-lagi Rei menyela.
“Tapi kan bisa dikonvert. Tinggal dikali aja hasil incinya dengan 2,54 nanti kan unitnya jadi centimeter”

Klik! 20.

“Iya. Itu kalo panjang meja. Lah kalo inteligensi. Saya diukur pake WAIS lalu kamu pake TIKI. Terus nilai IQ saya harus dikali berapa supaya memiliki unit yang sama dengan skor IQ mu?” jawab Rio. Yes! Dalam hatinya. Baru kali ini dia bisa menang berdebat sama Rei.
Rei pun diam,”Iya ya…”, katanya kemudian lirih.
“Nah tapi betul kan nggak bisa pake beda mean begitu saja?” tanya Rei bersemangat lagi.
Rio benar-benar tergoda untuk mengklik counternya lagi menjadi 21, tapi diurungkannya.
“Iya. Kelemahan menggunakan beda mean memang itu. Makanya nggak ada yang pake beda mean sebagai …” belum selesai bicara Rei memotong lagi.
“Nah terus ngapain kamu jelasin ke aku?”

Klik! 21

“Karena ini ide dasarnya. Cara-cara yang dipake sekarang ini itu beride dari sini gitu lo”, jawab Rio mulai ngotot.
“Kasusnya agak beda dengan korelasi. Beberapa orang memberikan acuan besar kecilnya korelasi. Ini karena korelasi merupakan nilai yang distandardkan, jadi bisa dibandingkan antar penelitian”,kata Rio.
Entah kenapa Rei kali ini tidak segera memotong penjelasannya. Mungkin ia menyadari kekesalan Rio kah? Atau mungkin sudah cape memotong terus dari tadi…hmm sebentar Rei? Cape memotong? Sepertinya…

“Nah ide ini yang kemudian juga dipakai untuk melihat perbedaan mean. Kita menstandardkan beda meannya. Dalam hal ini kita menggunakan standard deviasi dari kelompok sebagai satuannya. Jadi selisih meannya kemudian dibagi standard deviasi kelompok. Rumusnya kayak begini nih”, kata Rio sambil mengeluarkan kertas kucel dari dalam sakunya. Kemudian ia menulis di selembar kertas itu:

“Nah karena nilai d ini sudah distandardkan makanya kita bisa membandingkannya dari penelitian satu ke penelitian lain”, Rio menjelaskan.
“Tapi, tetap tidak menjawab berapa besar yang dibilang besar. Acuannya?”tanya Rei lagi.

“Begini, ada seorang ahli yang bernama Cohen. Dia memberi semacam acuan atau guideline untuk menentukan besar kecilnya…”,Rio diam sejenak memberi kesempatan Rei untuk menyiapkan catatannya.
“Menurut Cohen, angka d sebesar 0.2 itu termasuk efek yang kecil, sementara 0.5 itu termasuk sedang dan 0.8 ke atas itu besar”, Rio melanjutkan,”Tapi Cohen juga memberi peringatan bahwa angka ini hanya acuan sementara saja. Bukan patokan yang harus diacu di semua penelitian. Acuan yang sebenarnya adalah hasil-hasil penelitian yang sudah dilakukan selama ini dalam cakupan ilmu tertentu. Jadi kita tetap harus melihat penelitian-penelitian sebelumnya.”, Rio menyelesaikan kalimatnya, lalu meneguk es teh yang segar di depannya,”selanjutnya menggunakan ini”, kata Rio menirukan gaya Pak Agung menunjuk kepalanya sendiri.

“Jadi nggak ada kepastiannya?” Rei bertanya sambil menunjukkan muka cemas. Baginya statistik adalah dunia hitam atau putih, benar atau salah, ditolak atau diterima. Statistik menyajikan jawaban abu-abu itu hal yang mustahil baginya. Bagaimanapun juga statistik itu kan matematika. Matematika itu kan ilmu pasti. Jadi …
“Ya nggak ada kepastiannya”, jawab Rio.
“Kok gitu?” tanya Rei lagi tidak puas dengan jawaban Rio.
“Loh kalo memang nggak ada kepastian ya nggak bisa dipasti-pastiin to ya”, jawab si Rio lagi.
“Terus aku harus gimana?”, si perempuan bertanya,”harus jawab apa kalo ujian?”
“Ya seperti yang sudah tak beritahu ke kamu,” jawab Rio lagi.
“Tapi nanti apa bisa dipertanggungjawabkan ke penguji?”kata Rei.

“Pak Agung juga bilang gini, menggunakan guide Cohen terlalu berlebihan juga akan berbahaya. Pertama karena bisa salah menilai hasil penelitian kita. Misalnya suatu variabel memang selalu memiliki efek dengan d sebesar 0.2 di banyak penelitian. Nah di penelitian kita, d-nya ternyata sebesar 0.25. Kalo kita mengacu ke Cohen, kita bisa bilang itu efeknya nggak terlalu besar. Tapi kalo kita ngacunya ke penelitian sebelumnya, angka 0.25 itu termasuk besar dibandingkan dengan penelitian sebelumnya”, Rio berhenti lagi dan meneguk es teh.

“Ahh… segarnya. Selain itu kalo kita ngacu ke Cohen kita bisa terjebak pada penting-tidak penting. Maksudnya…”kata Rio cepat-cepat, tidak mau disela Rei lagi,”kita bisa terjebak menganggap efek yang besar itu penting sementara yang kecil itu nggak penting. Dalam banyak hal efek yang besar itu sering tidak penting karena merupakan fenomena yang sudah diketahui banyak orang. Oleh karena itu seringkali meneliti variabel yang punya efek yang kecil juga penting karena kita bisa meneliti lebih dalam apakah ada moderator atau mediatornya.”

Rei mengangguk-angguk mengerti. Tapi sepertinya jawaban Rio tidak melegakan kecemasannya. Rio sepertinya menangkap kegelisahan Rei ini.

“ Jadi menurutku, Rei bisa kok baca-baca penelitian sebelumnya yang variabel atau temanya sama. Terus dihitung d-nya. Nah itu bisa dijadikan acuan dalam skripsi Rei nanti. Jadi nggak usah bingung gitu. Santai aja…” kata Rio sambil menghabiskan es tehnya.

R² (R Kuadrat), h² (Eta Kuadrat) dan w² (Omega Kuadrat)

“Itu kalo perbedaan ya, Pak”tanya Rio lagi,”kalo korelasi terus gimana? Apa kita pake acuan seperti yang Pak Agung bilang tadi?”

“Kalo kasusnya korelasi kita bisa saja menggunakan acuan 0.2 itu kecil, 0.4 itu moderat, dan diatas 0.6 itu besar. Tapi itu bukan ukuran effect size nya. Biasanya ukuran effect size untuk korelasi itu menggunakan r²”, kata Pak Agung.

“Sumbangan efektif ya, Pak?” tanya Rio

“Ya beberapa orang menyebutnya sumbangan efektif. Saya kurang tahu juga apa arti sumbangan efektif, apakah sama dengan makna r² ini. Kalo r² itu berarti proporsi variasi dari variabel tergantung yang dapat dijelaskan oleh variabel bebas”,kata Pak Agung.

“Saya pernah denger itu berarti banyaknya pengaruh variabel bebas terhadap tergantung ya Pak?” tanya Rio lagi.

“Bukan, bukan. Itu pengertian yang keliru. Korelasi tidak pernah mengimplikasikan adanya hubungan sebab akibat. Jadi bukan pengaruh. Kecuali jika r² ini didapat dari hasil eksperimentasi”, Pak Agung menjelaskan.

“Berarti kalo uji beda mean pake d, kalo korelasi pake r² gitu ya, Pak?” Rio mencoba mengklarifikasi.

“Sebenarnya uji beda mean juga mengenal r² atau yang memiliki pengertian yang mirip. Jika kita menggunakan t-test, maka akan dihasilkan juga r² point biserial. Rumus untuk mengkonversi t menjadi r²poin biserial seperti ini :

Jadi kita tinggal memasukkan t dan df yang kita dapatkan dari hasil perhitungan kita.”, kata Pak Agung lagi.

“Beberapa orang lebih senang menggunakan r kuadrat ini karena hasilnya bisa dibandingkan dengan hasil analisis dari teknik analisis yang lain seperti Anava, Anakova, Regresi bahkan teknik yang sangat advance”, Pak Agung berhenti sebentar. Lalu meminum air putih dari gelas di depannya.

“Wah saya baru denger tuh Pak kalo di Anava ada r² nya. Gimana carinya pak? Pake rumus yang sama dengan t tadi Pak?” tanya Rio.

“Rumusnya memang sangat mirip dengan rumus tadi. Prinsip dasarnya sama. Hanya berbeda sedikit karena untuk t kita hanya punya satu df, sementara untuk Anova, Anakova dan Regresi kita punya 2 df”, Pak Agung berkata lagi,”penyebutan untuk Anava dan Anakova juga agak berbeda sedikit”.

“Kalau di Anova dan Anakova istilah yang dikenal untuk effect size itu h² (eta kuadrat) atau w² (omega kuadrat). Keduanya sebenarnya sama hanya saja beberapa ahli bilang kalo sampel yang kita miliki itu kecil, biasanya h² akan mengalami overestimasi. Nah ini yang kemudian dikoreksi dengan menggunakan omega kuadrat. Dalam sampel yang cukup besar, biasanya angka kedua ukuran effect size ini akan saling mendekati”,kata Pak Agung lagi.

“Terus rumusnya gimana, Pak?” tanya Rio lagi. Rio menjadi makin penasaran dengan pengetahuan barunya ini.

“Wah kalo rumusnya banyak sekali tergantung situasinya. Begini saja, saya printkan saja rumusnya ya. Nanti kamu bisa ambil di locker saya besok”,jawab Pak Agung,”yang penting kamu dapet idenya. Interpretasi eta kuadrat, omega kuadrat, r kuadrat kurang lebih sama. Berapa banyak variasi dari variabel dependen yang dapat dijelaskan oleh variabel independen. Dalam kasus uji beda, kita bisa bilang seberapa banyak proporsi dari variasi variable dependen yang dapat dijelaskan oleh perbedaan kelompok. Dalam kasus eksperimen, kita bisa bilang berapa besar prosentasi variasi variabel dependen yang diakibatkan oleh treatmen kita”.

“Karena eksperimen kita bisa bilang akibat ya, Pak?” tanya Rio.

“Ya ya. Wah kamu jeli juga ya”, kata Pak Agung.

“Iya deh,Pak saya pamit dulu. Makasih ya, Pak, sudah dijelasin”, kata Rio pamit.

“Salam buat Rei, Ya. Bilang aja kalo dia mau tanya-tanya langsung aja nggak papa”, kata Pak Agung.

Rio pun terbelalak kaget dan hanya bisa cengar-cengir.”Bagaimana Pak Agung bisa tahu ya?” pikirnya dalam hati.

Validitas Pengukuran

2007-11-20T23:29:00.001+07:00

Ada sebuah pertanyaan dalam komentar yang saya pikir ada baiknya dibahas secara mendalam dalam satu posting sendiri. Terima kasih buat vensi_arg yang sudah kirim pertanyaan. Pertanyaannya seperti ini:

pak, mohon bantuannya
saya jadi bingung bagaimana mengukur validitas yang benar...
karena setau saya menggunakan korelasi item-total, namun ternyata korelasi tersebut bukan merupakan validitas yang sebenarnya hanya gambaran. lalu pengukuran validitas manakah yang akurat?
ada yang mengatakan dengan melihat coreccted aitem-total corelation pada uji realibilitas alpha crobach

mohon bantuannya pak
terima kasih..

Mengenai korelasi item total baik yang dikoreksi (corrected item total correlation) atau tidak bisa dilihat dalam pembahasan mengenai hal ini dalam posting terdahulu : Korelasi Item Total = Validitas Item?

Baiklah sekarang kita menginjak tema satu ini: (drum role please) Validitas Pengukuran

Pada intinya validitas pengukuran memberikan gambaran mengenai seberapa jauh pengukuran yang kita lakukan itu memang mengukur sesuai yang ingin diukur. Maksudnya apakah pengukuran telah memenuhi tujuannya. Misalnya kita ingin mengukur inteligensi, maka apakah alat yang kita pakai untuk mengukur inteligensi itu memang benar-benar mengukur inteligensi bukan yang lain misalnya seperti yang dicurigai orang selama ini : kemampuan akademik. Atau jika kita ingin mengukur kecemasan, apakah alat yang kita pakai memang mengukur kecemasan bukan depresi misalnya.

Nah untuk validitas ini bisa diestimasi dengan berbagai cara. Saya akan menggunakan pengklasifikasian yang biasa dipakai di kelas yang mengacu buku-buku Saifuddin Azwar dengan sedikit modifikasi:

Validitas tampang; pendekatan ini menggunakan penilaian subjektif dari subjek atau testee mengenai keabsahan tes. Tentunya metode ini hanya dapat digunakan jika tujuan alat ukur memang secara jelas dapat diketahui oleh testee. Misal tes yang digunakan di kelas untuk mengukur hasil belajar.Validitas tampang yang tinggi dapat diperoleh jika testee setuju kalau tes yang mereka kerjakan memang mengukur apa yang ingin diukur. Validitas tampang yang tinggi dapat berarti buruk pada tes atau skala yang tujuan pengetesannya sebaiknya tidak diketahui oleh subjek. Misalnya skala sikap. Jika subjek dapat mengetahui tujuan pengukuran dari melihat tes, maka kita akan meragukan hasil pengukurannya. Karena subjek memiliki kemungkinan untuk memberikan respon yang bias (tidak sesuai dengan apa yang dia alami tapi lebih pada respon yang seharusnya diberikan).
Validitas Isi; pendekatan ini menggunakan kriteria berupa tabel spesifikasi yang berisi domain dari tes. Domain ini dapat berasal dari (1) teori yang mendukung konstruk yang diukur (lihat post Stop Press: Aspek, Indikator, Dimensi dan Faktor),(2) kurikulum, jika pengukuran dilakukan pada hasil prestasi belajar (3) kebutuhan yang menjadi persyaratan, ini khususnya jika pengukuran dimaksudkan sebagai alat seleksi. Dalam hal ini estimasi validitas dilakukan dengan membandingkan teori dengan tabel spesifikasi dan item yang disusun, apakah tabel spesifikasi selaras dengan teori yang mendasarinya, dan apakah item memang mengungkap aspek yang ingin diukur. Penilaian mengenai hal ini dapat dilakukan oleh penilai profesional (professional judgement). Beberapa buku menyebutnya sebagai Validitas Isi Logis .
Validitas Kriteria; pendekatan ini dapat dilakukan dengan mengkorelasikan hasil tes (berupa skor) yang ingin diestimasi validitasnya dengan kriteria berupa hasil tes lain atau perilaku prediksi yang diharapkan. Misalnya kita ingin mengestimasi validitas tes inteligensi yang sudah kita susun. Kita dapat melakukannya dengan mengkorelasikan hasil tes inteligensi kita dengan hasil tes inteligensi lain yang sudah baku. Jika korelasi antara hasil tes inteligensi kita dengan yang sudah baku itu positif dan tinggi, maka dapat dikatakan tes inteligensi kita memiliki validitas yang baik. Metode ini disebut juga concurrent criterion-related validity. Atau kita juga dapat mengestimasi dengan mengkorelasikan hasil tes inteligensi kita dengan perilaku prediksi yang diharapkan, misalnya prestasi belajar siswa di sekolah. Jika hasil korelasi bernilai positif dan tinggi, maka dapat dikatakan tes inteligensi kita memiliki validitas prediktif yang baik terhadap prestasi di sekolah. Ada beberapa syarat yang perlu dipenuhi kriteria yang akan digunakan yaitu: relevan, reliabel, tidak bias, dan dapat diperoleh.
Validitas Konstruk; estimasi validitas konstruk dilakukan dengan membandingkan 'perilaku' skor tes dengan teori yang mendasari tesnya. Misalnya dalam teori dikatakan inteligensi itu memiliki korelasi positif dengan bakat kognitif tapi tidak memiliki korelasi dengan bakat musik. Maka tes inteligensi yang kita buat dapat dikatakan memiliki validitas konstruk jika skor tesnya memiliki korelasi yang positif dengan hasil skor tes bakat kognitif dan tidak memiliki korelasi yang signifikan dengan bakat musik. Ada cukup banyak teknik yang dapat digunakan untuk mengestimasi validitas konstruk ini, misalnya dengan menggunakan Analisis Faktor atau metode Multi-Trait Multi-Method.

Estimasi validitas no 1 dan 2 dapat dilakukan tanpa menggunakan skor tes yang bersangkutan. Sementara no 3 dan 4 kita harus melakukan pengetesan untuk memperoleh skor tes untuk dikorelasikan atau dibandingkan dengan skor tes lain.

Dalam penelitian di jenjang S-1 biasanya mahasiswa tidak dituntut untuk melakukan estimasi validitas menggunakan Validitas Kriteria apalagi Validitas Konstruk. Biasanya hanya dituntut untuk melakukan estimasi dengan menggunakan pendekatan validitas tampang dan isi logis saja.

OK semoga bisa menjawab kegundahan hati vensi_arg mengenai validitas pengukurannya.

Kalo Bukan Nol Terus Berapa?

2007-10-19T10:39:00.001+07:00

Kisah ini masih saja fiktif. Nama orang atau peristiwa di dalamnya hanya rekaan saja. Tidak dimaksudkan untuk mengacu pada orang tertentu dalam kehidupan nyata. Jika ada kejadian atau nama yang sama ada yang memang disengaja tapi juga ada yang hanya kebetulan saja.

"Wah lagi pada ngapain mereka?" tanya Dodik pada temannya. Ia menunjuk pada sekelompok mahasiwa bersama dosen mereka di sebuah lapangan.
"Mungkin kuliah mengenai training atau dinamika kelompok kali," jawab temannya acuh tak acuh.
"Saya ke sana ah, mau lihat apa yang mereka kerjakan," kata Dodik.
Setelah mendekat, ia melihat mereka seperti akan bermain lempar tongkat kayu dengan beberapa ukuran. Ia juga mengenali dosen itu, Pak Agung, pengajar statistik di fakultas psikologi.
"Dalam kelas tadi ada yang bertanya: Jika uji signifikasi hanya bicara bahwa sampel berasal dari populasi yang parameternya bukan nol, lalu parameternya berapa? Begitu bukan?" Pak Agung setengah berteriak di tengah lapangan. (baca kisah Pak Bondan dalam posting sebelumnya).
"IYA PAAAAAAK," jawab kelompok mahasiswa itu serentak.
"Waduh saya ngajar anak TK ternyata ya..."kata Pak Agung disertai gelak tawa kelompok mahasiswanya.
"Nah kita bisa mengestimasi berapa besarnya parameter dalam populasi dengan menggunakan teknik yang namanya Confidential Interval(CI). Kalau di Indonesiakan ya kurang lebih Interval Kepercayaan gitu kali ya. Estimasi yang dihasilkan dari teknik ini berupa sebuah range nilai terkecil dari parameter sampai terbesar yang mungkin muncul dalam tingkat kepercayaan tertentu..."dosen itu terdiam sejenak melihat mahasiswanya memandang dengan penuh tanya.
"Oke oke... teknik ini seperti jawaban kita terhadap pertanyaan berapa jam perjalanan Semarang-Jogja? Jawabannya?" dosen itu bertanya pada mahasiswa.
"ya kurang lebih 3 sampe 5 jam, Pak" jawab seorang mahasiswanya.
"Nah CI itu kurang lebih seperti itu. Kita tidak memberikan hasil estimasi berupa satu angka saja, tetapi berupa interval seperti: ya antara 3 sampe 5 jam tadi." Pak Agung menjelaskan.
"OOOOO...." sekali lagi mereka merespon dengan kompak.
"haeeeehhh... mahasiswa jaman sekarang...," Pak Agung menanggapi disambut tawa mahasiswanya.
"Terus gimana caranya,Pak?" tanya seorang mahasiswa.
"Caranya dengan menggunakan rumus ini:

parameter yang diestimasi = statistik estimasi +/- (distribusi acuan x standard error)

Parameter yang diestimasi merupakan batas bawah dan batas atas yang mungkin muncul dalam tingkat kepercayaan tertentu. Nilai ini yang akan memberikan jawaban berapa parameternya kalau bukan nol."
Para mahasiswa sibuk mencatat rumus dan penjelasan Pak Agung. Sementara Dodik memilih diam dan mendengarkan dari kejauhan. Ia nampaknya mulai berminat dengan materi ini.
"Nah statistik estimasi merupakan estimasi parameter dalam sampel. Misalnya kita mengestimasi korelasi dalam populasi, statistik estimasi ini berupa korelasi dalam sampel kita. Kalau kita mengestimasi perbedaan mean, statistik estimasi ini berupa perbedaan mean dalam sampel kita." Pak Agung berjalan mondar-mandir sambil memainkan tongkat yang dipegangnya bergaya drumer terkenal.
"Standard error merupakan standard deviasi dari statistik yang kita peroleh. Misalnya standard deviasi dari mean dihitung dengan membagi standard deviasi populasi dengan akar kuadrat dari besarnya sampel :
Nah kalau distribusi acuan... hmm bagaimana menjelaskannya ya?" Pak Agung diam sejenak berpikir sementara sekian pasang mata melihatnya berharap penderitaan mereka segera berakhir dengan dimulainya permainan.
"Distribusi acuan dapat dianggap juga sebagai nilai kritis dari suatu uji statistik dengan taraf signifikasi tertentu. Misalnya jika kita menguji perbedaan mean maka kita menggunakan uji t sebagai uji statistiknya. Oleh karena itu distribusi acuannya berupa distribusi t. Nah anggaplah kita ingin menguji dengan taraf signifikasi 5%, maka distribusi acuan akan memiliki nilai sebesar nilai kritis dari tabel t dengan taraf signifikasi 5%. Tentunya kita juga perlu melihat besarnya sampel untuk melihat tabel ini. Akan saya jelaskan nanti."wajah-wajah penuh keputus-asaan mahasiswanya diabaikan Pak Agung begitu saja sambil terus memainkan tongkat yang dipegangnya.

"Baiklah, kita akan mencoba sebuah contoh. Misalnya kita mengambil sampel dari populasi mahasiswa di Universitas ini. Anggap saja sampel kita representatif terhadap populasinya. Nah, kemudian kita mengukur tinggi badan mahasiswa dalam sampel ini dan menghitung meannya. Misalnya kita mendapat mean sebesar 167 cm. Pertanyaannya berapa sih sebenarnya mean tinggi badan di populasi, bukan begitu?" tanya Pak Agung.
"Begituuuu..." jawab mahasiswa-mahasiswanya.
Pak Agung cuma menggelengkan kepala sambil mengelus dada, sementara mahasiswanya tertawa lagi.
"Kemudian kita menerapkan rumus yang saya berikan tadi. Anggap saja kita menggunakan distribusi nilai Z dulu ya supaya mudah. Nah pertama yang kita lakukan adalah menghitung standard error dari meannya. Oke sekarang dihitung!" Pak Agung memberi instruksi.
Para mahasiswanya segera menghitung, sampai beberapa menit kemudian mereka celingukan karena bingung. Seorang di antaranya bertanya,"Maaf Pak, standard deviasi populasinya berapa ya?"
"Ah akhirnya ada yang sadar juga. Ya kalian nggak mungkin bisa ngitung standard error mean kalo nggak tahu standard deviasi populasi dan besar sampel to?" Pak Agung tersenyum penuh kemenangan. Kali ini dia yang berhasil mengecoh mahasiswanya.
"Wah tiwas mumet mumet nih ternyata dikerjain," beberapa merespon.
"Bukan ngerjain tapi ngetes pemahaman,"jawab Pak Agung,"Nah sekarang anggap saja besar sampelnya 100 orang, dan standard deviasi populasinya 20. Sekarang coba hitung standard error meannya."
Beberapa saat para mahasiswa hening mengerjakan. Ada yang mengerjakan dengan serius sendirian, yang lain berkelompok berdiskusi. Entah diskusi soal yang dikerjakan atau diskusi mengenai kapan kuliah berakhir atau film terbaru yang akan diputar.
"Dua, Pak," seorang mahasiswa menjawab.
"OK. standard error meannya dua. Ada yang berbeda jawabannya?" tanya Pak Agung.
Mahasiswa yang lain menggeleng. Entah mereka menemukan jawaban yang sama atau menggeleng karena tidak tahu.
"Baiklah. CI biasanya berurusan dengan proporsi di antara dua nilai kritis Z yang sama besarnya. Satu di sebelah kiri satu di sebelah kanan. Nah jika kita ingin menghitung CI sebesar 95%, berapa banyak harus kita potong dari sebelah kiri dan kanan?"
"5% Pak...eh salah 2,5%" jawab seorang mahasiswa
"Ya kita potong di sebelah kiri 2,5% begitu juga di kanan. jadi yang tersisa di tengah tinggal 95%. Kalo digambar akan seperti ini:

gambar 1. Confidential Interval 95%

"Sekarang kita akan mencari nilai kritis Z dengan proporsi 2,5% di sebelah kiri dan kanan. Semuanya buka tabel yang saya berikan di awal semester. Yang nggak bawa liat temannya. Kalo temannya nggak bawa juga silahkan berdoa."

"Dalam membaca tabel kita perlu berhati-hati dengan aturan main yang ditetapkan si pembuat tabel. Ada beberapa yang mencantumkan proporsi dari nilai Z tertentu dari mean (lihat gambar 2, bagian yang berwarna hijau). Yang lain mencantumkan proporsi di sebelah kiri dari nilai Z tertentu (lihat gambar 3, bagian yang berwarna hijau).

gambar 2 proporsi nilai Z dari mean

gambar 3 proporsi di sebelah kiri nilai Z

Nah anggap saja kita menggunakan tabel yang menyajikan proporsi di sebelah kiri dari nilai Z. Kita akan melihat nilai kritis Z yang memiliki proporsi sebesar 2.5%. Berapa besarnya nilai Z ini?"
Suara kertas dibolak-balik pun terdengar. Ada yang benar-benar mencari ada yang pura-pura mencari sambil menundukkan kepala seolah sibuk, padahal takut ditunjuk....biasa taktik mahasiswa.
"Ada yang tahu?" tanya Pak Agung lagi.
" negatif 1.96 Pak,"jawab seorang mahasiswa.
"Yang lain setuju?" tanya Pak Agung.
Para mahasiswa pun mengangguk-angguk seolah setuju dengan jawaban temannya.
"Oke, gimana kok bisa dapet segitu?"Pak Agung bertanya lagi. Sepertinya dosen satu ini memang gemar bertanya...atau gemar melihat mahasiswanya cemas?
"Begini Pak,"jawab Ivan salah satu mahasiswa pandai di kelas,"Kita mencari dulu proporsi 2.5% dalam tabel ini. Lalu melihat berapa besarnya Z yang tercantum di kolom paling kiri dari tabel, lalu melihat besarnya Z perseratus dalam baris paling atas."
"Oke oke tolong ditunjukkan di depan,"kata Pak Agung sambil menempelkan tabel Z yang besar di papan.
Ivan pun maju menjelaskan:

tabel distribusi normal
(dibuat dengan bantuan MS Excell)

"Pertama kita cari angka 0.025 dalam tabel dulu. setelah ketemu kita lihat di kolom paling kiri. Di sana tertulis -1.9, kemudian kita lihat ke baris paling atas, di sana tertulis 0.06. Nah ini berarti nilai Z dengan proporsi 0.025 adalah -1.96."
"Baik. Semua sudah cukup jelas?" tanya Pak Agung.
Semua mengangguk, ada beberapa mahasiswa yang mencoba mencari sendiri dalam tabel mereka.
"OK terima kasih Ivan,"kata Pak Agung sambil mempersilahkan Ivan duduk lagi,"Nah kita baru menemukan nilai Z di bagian kiri dari kurve normal. Lalu berapa nilai Z di bagian kanan kurve normal yang proporsinya 2,5%?" sambil menunjuk pada gambar 1 pada bagian paling kanan kurve normal.
"1.96 ya,Pak?" tanya Ana ragu.
"Yang lain setuju?" tanya Pak Agung pada seluruh kelas.
Beberapa nampak bingung sementara yang lain masih mengecek tabelnya sambil mengernyitkan dahi.
"Karena kurve normal itu simetris maka bagian di sebelah kanan dan kirinya itu sama besarnya. Jadi bagian di sebelah kanan dan kiri kurve akan memiliki nilai Z yang sama hanya saja berbeda tandanya. Maksudnya kalau di bagian kiri akan bertanda negatif, sementara di bagian kanan akan bertanda positif" sambil berulang kali menunjuk pada daerah berwarna hijau dalam gambar 1.
Mahasiswa pun mengangguk-angguk.
"Baik sekarang kita sudah tahu statistik estimasi, distribusi acuannya, dan standard error meannya. Nah silahkan sekarang dihitung CI nya." Pak Agung memberikan instruksi.
Mahasiswa pun sibuk menghitung. Beberapa menggunakan hp sebagai kalkulator, beberapa yang lain menggunakan kalkulator biasa, yang lain menggunakan kalkulator scientific, yang lain lagi bengong karena tidak membawa kalkulator.
"Rangenya antara 163.08 sampai 170.92, Pak." jawab Nita.
"Oke. Ada yang punya pendapat berbeda?" tanya Pak Agung pada kelas.
Semua mahasiswa diam sambil menggeleng. Sepertinya mereka setuju dengan jawaban Nita.
"Tapi apa artinya angka itu Pak?" tanya Parjo.
"Itu berarti kita memiliki keyakinan sebesar 95% bahwa range tersebut mengandung mean populasi. Atau dengan kata lain jika kita mengulang estimasi kita ini terus menerus, maka 95% dari estimasi kita itu mengandung mean populasi."
"Ini berarti tetap ada kemungkinan estimasi kita dalam bentuk interval ini meleset dari mean populasi sebenarnya?" tanya Darius.
"Ya benar. Sangat mungkin interval yang kita dapatkan saat ini benar-benar meleset dari mean populasi. Kemungkinan melesetnya sebesar...?" Pak Agung sengaja berhenti sejenak menunggu jawaban mahasiswanya.
"Lima persen pak?" sahut Ivan.
"Ya sebesar lima persen." jawab Pak Agung.
"Nah baiklah sekarang kita coba hitung estimasi mean populasi jika kita menggunakan CI 99%." kata Pak Agung.
Mahasiswa pun mulai menghitung lagi. Beberapa mulai merasa kepanasan di alam terbuka sehingga memilih duduk dekat pepohonan. Yang lain menutupi kepalanya dengan buku. Yang lain cuek saja menghitung tugas yang diberikan.
"Baik jawabannya?"tanya Pak Agung kemudian.
"Intervalnya dari 161.86 sampai 172.14" jawab Darius.
"Yang artinya?" tanya Pak Agung lagi.
"Kita memiliki keyakinan sebesar 99% bahwa estimasi interval mean ini mengandung mean populasi..."jawab Ninung. Ia terdiam sejenak merasa ada yang aneh dengan pernyataannya sendiri.
"Tapi Pak, kenapa tingkat keyakinannya makin besar kok intervalnya juga makin besar. Bukannya harusnya kita makin yakin ya rangenya makin kecil? makin akurat gitu pak?" tanya Ninung.
"Ini pertanyaan yang keren abis...ada yang bisa jawab?" tanya Pak Agung.
Mahasiswa seperti biasa berpura-pura sibuk berdiskusi sambil membaca buku sehingga kemungkinan ditunjuk oleh Pak Agung makin kecil. Sebenarnya ini usaha sia-sia karena Pak Agung selalu membawa senjata saktinya tiap kali mengajar: absensi.
"Coba Duwi, apa pendapatmu?" Pak Agung memulai terornya.
"Ng...", Duwi pun toleh kanan-kiri memohon belas kasihan teman-temannya,"Apaan?" tanyanya berbisik.
Yang ditanyapun hanya dapat menggeleng sambil berusaha tetap menyembunyikan kepalanya.
"Baiklah Duwi, coba ambil tongkat ini", kata pak Agung mengakhiri penderitaan Duwi.
"I..iya pak" , jawab Duwi sambil bergerak mengambil tongkat yang disodorkan Pak Agung.
"Sekarang misalnya saya meminta kamu melempar tongkat ini ke tonggak di sana, seberapa yakin bahwa tongkat ini akan mengenai tonggak itu?", tanya Pak Agung sambil menunjuk ke sebuah tonggak sejauh 3 meter di depannya.
"Wah saya nggak terlalu yakin,Pak. Saya nggak pinter maen lempar-lemparan", jawab Duwi.
"Oke, sekarang kalo kamu saya kasih tongkat ini", kata Pak Agung sambil menyodorkan tongkat yang jauh lebih pendek dari yang diterima Duwi tadi,"seberapa yakin bahwa lemparanmu mengenai tonggak itu?"
"Waduh,Pak. Yang segini aja susah apa lagi yang sekecil ini", jawab Duwi.
"Bisa nggak saya bilang kalo tingkat keyakinanmu sekarang lebih kecil daripada melempar dengan tongkat yang tadi?" tanya Pak Agung.
"I...iya, Pak", jawab Duwi.
"Baik sekarang kamu saya beri tongkat pramuka ini", kata Pak Agung sambil mengambil tongkat pramuka dan memberikan pada Duwi,"berapa besar keyakinanmu sekarang?"
"Wah... kalo ini sih saya lebih yakin kalo kena,Pak", jawab Duwi.
"Jadi bisa dikatakan tingkat keyakinanmu lebih besar sekarang?" tanya Pak Agung.
"Iya,Pak", jawab Duwi masih belum bisa menangkap arah pembicaraan Pak Agung.
"Nah saya baru mendemonstrasikan jawaban terhadap pertanyaan Ninung. Ada yang mau mencoba memformulasikannya?" tanya Pak Agung.
"Bisa dikatakan semakin besar interval estimasi mean makin yakin kita kalau interval itu akan 'mengenai' mean populasi begitukah,Pak?" tanya Ninung.
"Ya ... ya saya pikir saya ngerti, Pak. Itu kayak kita makin yakin bakal dapet ikan kalo pake jala yang lebih besar, sementara kalo pake pancing keyakinan kita makin kecil. Gitu ya?" tanya Yanti.
"Bisa juga analoginya seperti itu", kata Pak Agung,"Atau juga bisa seperti ini. Misalnya suatu hari ada peristiwa rumah kemalingan. Nah polisi akan mengejar maling ini dengan menyisir area dari tempat kejadian perkara. Anggap saja kita memiliki tenaga yang mencukupi untuk menyisir. Nah, besar radius daerah yang disisir, makin besar keyakinan kita untuk menangkap maling itu. Begitu?"
Mahasiswa pun mengangguk-angguk. Beberapa berpikir,"kita panas-panas begini cuma buat belajar ini?"
"Nah pertanyaannya sekarang, bisa nggak metode ini digunakan untuk menguji hipotesis nol?" tanya Pak Agung.
Mahasiswa yang sudah tenang mulai gelisah lagi. Segera membuka buku-buku lagi, pura-pura diskusi, apapun yang bisa dilakukan agar nampak sibuk. Entah mungkin tidak ada lagi yang bisa dilakukan lagi, sehingga taktik lama yang sudah tidak efektif ini tetap saja dilakukan.
"Misalnya ada kasus begini: seseorang mengaku bahwa dia adalah mahasiswa USD. Tinggi badannya 180 cm . Nah kamu diminta memecahkan masalah ini, membuktikan apakah benar dia mahasiswa USD hanya dari tinggi badannya saja. Kita akan menggunakan standard error yang tadi sudah kita temukan tadi", kata Pak Agung.
"Jadi benarkah orang ini mahasiswa USD?" tanya Pak Agung.
Mahasiswa pun mulai berdiskusi. Beberapa saling ngotot dengan jawaban mereka sendiri. Yang lain pasif mendengarkan argumentasi ilmiah teman-temannya sambil membayangkan makan siang mereka nanti.
"Ada yang bisa jawab caranya?" tanya Pak Agung.
"Saya nggak yakin sih,Pak. Tapi saya coba. Kita menghitung 95% CI dari tinggi badan orang itu. Nah kalau intervalnya tidak menangkap mean populasi bisa dibilang orang ini berasal dari populasi lain selain populasi mahasiswa USD", jawab Irwan.
"Ya...ya. Betul", kata Pak Agung," Nah misalnya mean tinggi badan dari populasi mahasiswa USD 165cm. Buktikan apakah orang itu berasal dari populasi mahasiswa USD atau bukan."
Mahasiswa mulai sibuk menghitung dan berdiskusi kembali. Argumentasi ilmiah dan non-ilmiah pun terjadi di antara mereka.
"Saya memiliki keyakinan sebesar 95% bahwa... Silahkan teruskan", kata Pak Agung lagi.
"Saya memiliki keyakinan sebesar 95% bahwa mean populasi ada di antara interval 176.08 sampai 183.92", kata Tanto.
"Oke... terus jawaban terhadap permasalahannya?" tanya Pak Agung.
"Bisa dikatakan saya memiliki keyakinan sebesar 95% bahwa orang tersebut tidak berasal dari populasi mahasiswa USD." jawab Jaya.
"OK. Keren sekali", kata Pak Agung. Ia terlihat puas dengan jawaban mahasiswanya ini.
"Baik. Adakah yang ingin ditanyakan?" tanya Pak Agung sambil melihat ke sekelilingnya. Beberapa mahasiswa yang ingin bertanya terpaksa mengurungkan niatnya karena ancaman teman sebelahnya yang sudah kelaparan dan kepanasan.
"Kalau begitu kita akan ketemu lagi minggu depan di kelas...Oh ya buat audiens gelap di belakang sana boleh datang juga ke kelas kalo tertarik", kata Pak Agung agak keras. Sebenarnya Pak Agung mengetahui keberadaan Dodik dari tadi. Tapi ia membiarkannya saja. Dodik pun kaget dan keluar dari tempat persembunyiannya sambil garuk-garuk kepala, nyengir dan berkata,"He...he.. .iya,Pak. Makasih,Pak."

Mahasiswa pun bergegas membereskan dan membersihkan tempat pertemuan mereka. Beberapa segera berlari meninggalkan tempat pertemuan menuju warung makan karena kelaparan.